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复变函数 与积分变换 主讲：李茂华 宁波大学理学院 二零零九年九月 参考用书 目 录 第四章 解析函数的级数表示 本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛朗级数. 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无穷级数部分的复习，并在对此中进行学习． 第四章 解析函数的级数表示 4.1 复数项级数 4.2 复变函数项级数 4.3 泰勒级数 4.4 洛朗级数 本章小结 思考题 第一节 复数项级数 一、复数列极限 例1． 例1． 例2． 第二节 复变函数项级数 例1． 例1． 例2． 例3． 第三节 泰勒级数 例1． 例2． 第四节 洛朗级数 例1． 例2． 例3． 例4． 定理5： 说明： 由此可见解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，即展开式是唯一的． 一、利用直接法将函数展开成幂级数 解： 二、利用间接展开法将函数展开成幂级数 借助于已知函数的展开式，利用幂级数的运算性质和分析性质， 以唯一性为理论依据得到函数的泰勒展开式． 解： 例3． 解： 例4． 解： 例4． 三、将函数展成的幂级数 例5． 解： 例6． 解： 例7． 解： 一、直接展开法 定理6（洛朗定理） 证明： 证明： 解： ---------直接展开法 证明： 二、间接展开法 根据由正、负整次幂项组成的级数的唯一性，可通过代数运算、变 量代换、函数求导、积分等方法将函数展开，这种方法称为间接展开法． 解： * * 大学数学多媒体课件 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 解析函数的级数表示 第五章 留数及其应用 第六章 傅立叶变换 第七章 拉普拉斯变换 第一章 复数与复变函数 定义： 定理1： 证明： 必要性 充分性 解： 定义： 解： 二、复数项级数的概念 定理2： 证明： 定理3： 定理3： 证明： 说明： 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ 解： 一、复变函数项级数 定义： 称表达式： 称为级数的部分和． 二、幂级数 1．幂级数概念 定义：形如 定理1：（阿贝尔定理） 阿贝尔定理告诉我们: 证明： 充分性用反证可以证明．（略） 必要性 2．收敛圆与收敛半径 定义： 注意： 解： 幂级数的部分和 故级数发散. 3．收敛半径的求法 定理2：（比值法） 证明： 定理3：（根值法） 求下列幂级数的收敛半径 解： 所以不能直接用公式． 用比较审敛法: 4．幂级数的运算和性质 （1）幂级数的代数运算 （2）复合运算 这个运算具有广泛的应用，常用来将函数展为幂级数． 解： （3）幂级数和函数的性质 定理4： 逐项求导、逐项积分 试求给定幂级数在收敛圆内的和函数 解： 前面已讨论了已知幂级数，如何求收敛圆、和函数，并且知道和函 数在它的收敛圆内是一个解析函数，下面研究与此相反的问题：即任何 一个解析函数是否能用幂级数来表示？ * * *