第8章随机过程初步.pptVIP

§8.5 相关函数的性质: 均方可积准则: 随机过程X(t)在[a,b]上均方可积的充分条件是X(t)的自协方差函数CX(s,t)在a≤s ≤b, a≤t ≤b上黎曼可积. 如果X(t)在[a,b]上均方连续,即 则X(t)在[a,b]上均方可积 证略 均方积分的性质: 证明:设 此性质说明求期望号与求积分号可交换次序. 存在.即 存在.由 得 为X(t)的时间均值，称 定义 称 为X(t)的时间相关函数. 设X(t)是平稳过程,易证 (p196) 证明: 证略 证略 P183 定义8.3.2 若随机过程{Xt,t?T}的每一个有限维分布都是正态分布,则{Xt,t?T}称为正态过程(Gauss过程). P183,例8.3.2 设 ,其中随机变量U，V相互独立,且都服从正态分布, ?是实常数.试证:X(t)是一个正态过程. 8.3.4 正态过程 证： 及 令 由U、V的相互独立性,且U、V都服从正态分布,得 即 服从n维正态分布,则随机过程 是一个正态过程. EX 求证维纳过程是正态过程 证： 及 令 式中ai满足 由于 是独立的正态随机变量 的线性组合，仍然服从正态分布。证毕 则称过程 具有马尔可夫性,或称此过程为马尔可夫(Markov)过程,简称马氏过程. 8.3.5 马尔可夫过程 P186,定义8.3.6 设随机过程 的状态空间为I,若任意, ， 马尔可夫过程的特点是:当过程在时刻 t0所处的状态为已知的条件,过程在时刻t(tt0) 所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关,这个特性就是无后效性. 注: 可证,独立增量过程{X(t),t≥0},若X(0)=0,则必为马氏过程.(证明参见闵华玲《随机过程》) 若马氏过程的状态 是离散的,则称条件概率 为马氏过程X(t)在时刻t处于状态ai的条件下, 在时刻t+t转移到状态aj的转移概率. 易证,转移概率的性质有(p186) 性质（3）称为C-K方程。（Chapman-Kolmogorov), C-K方程基于下列事实，即“从时刻t所处的状态ai出发经时段?转移到状态aj”这一事件可分解为“从X(t)= ai出发，先经时段t转移到中间状态ak，再从ak经时段?转移到状态aj”。 参数与状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链，简称马氏链。设马氏链的参数集为 状态集为 记 显然有 概率与n无关,则称马氏链X(t),t?T 为齐次的 或时齐的或称马氏链 X(t),t?T为齐次马氏链. 若在 的条件下, 发生”的 在马氏链是齐次的情况下,称 为马氏链的n步转移概率,称 为马氏链的n步转移概率矩阵,记为. 一步转移概率矩阵记为P。可证 例1 (0—1传输系统)在如图只传输数字0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p；误码率为q=1-p，并设一 个单位时间传输一级，X0是第一级的输入，Xn是第n级的输出 (n?1)，试用马氏链来描述这个系统。并求：（1）n步转移概率矩阵 注：输出与输入数字相同的概率称为系统 的传真率，相反情形称为误码率 解(1) 一步转移概率矩阵为 0 1 0 1 n步转移概率矩阵为 由于P有相异的特征值 由线性代数知识,可将P表示成对角阵 的相似矩阵. 具体做法是:求出两特征值对应的特征向量: 令 则 （2）设p=0.9，求系统二级传输后的传真率与三级传输后的误码率 将p=0.9,n=2带入P(n)得 同理, （3）设P{X0=0}=a,又已知系统n级传输后输出为1，问原发字符也是1的概率是多少？ 解:根据Bayes公式,当已知系统经n级传输后输出为1,原发字符也是1的概率为 8.4.1 严平稳随机过程 §8.4 平稳随机过程 平稳过程是什么意思？ 定义8.4.1 若随机过程 具有相同的分布函数,则称随机过程X(t)为严平稳过程. 与 和任意 对于任意时刻 定理 8.4.1 若严平稳过程的均方值函数存在,则 均值函数为 均方值函数为 方差函数为 相关函数 8.4.2 宽平稳随机过程 定义8.4.2 若随机过程 对每一个 ,二阶矩 都存在,则它为二阶矩过程. 推论: 若严平稳过程X(t)还是二阶矩过程,则 (1)X(t)的均值函数是一常数, 记为 E[X(t)]=?X (2)X(t)的相关函数RX(t1,t2)是单变量?= t2-t1的函数, 记为 证明:(1) 因为X(t)与X(t+h)同分别, 令h=-t, 得 定义8.4.3 给定二阶矩过程