D9_3全微分20160304范例.ppt

当函数可微时 : 例4. 有一圆柱体受压后发生形变, 3. P129 题 7 4. 设 * 目录 上页 下页 返回 结束 分微的数函元一顾回 定义 定理 微分的几何意义 M N T ） 几何意义:(如图) P 第九章 *二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分 引例: 一块长方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片长宽为 x , y 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x,△y 的线性函数 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 变到 长由 其 变到 宽由 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 同样可证 证:因函数在点(x, y) 可微, 故 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 说明当 时, 定理2 (充分条件) 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 所以函数 在点 可微. 注意到 , 故有 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 的全微分为 于是 例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数 的全微分. 解: 解: 在点 (0,0) 可微 . 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数 所以 例3. 同理 极限不存在 , 在点(0,0)不连续 ; 同理 , 在点(0,0)也不连续. 2) 3) 题目 4) 下面证明 可微 : 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令 则 题目 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 偏导数存在 函数可微 偏导数连续 小结 极限，连续，可导，可微的关系图 极限存在 连续 可微分 偏导数存在 偏导数连续 可知当 *二、全微分在近似计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 较小时, 及 有近似等式: (可用于误差分析或近似计算) (可用于近似计算) 半径由 20cm 增大 解: 已知 即受压后圆柱体体积减少了 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm , 体积的近似改变量. 求此圆柱体 例5.计算 的近似值. 解: 设 ,则 取 则 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 定义 作业 P77 1 ; 2; 4 预习 第四节 多元复合函数的求导法则 3. 微分应用 ? 近似计算 ? 估计误差 绝对误差 相对误差 练习 思考与练习 1. P75 题5 ；P129 题 1 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 答案: 也可写作: 当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03 解: 利用轮换对称性 , 可得 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *