§2.5函数的微分预案.doc

§2.5 函数的微分 I 授课题目： §2.5 函数的微分 II 教学目的与要求： 1. 理解函数微分的定义 2. 计算函数的微分。 III 教学重点与难点： 重点：函数微分的定义，用函数微分的定义计算函数的微分 难点：函数微分的定义 IV讲授内容： 一、微分的定义 1.函数增量的计算及增量的构成( 引例1.一块正方形金属薄片受温度变化的影响( 其边长由x0变到x0(?x( 问此薄片的面积改变了多少？ 设此正方形的边长为x( 面积为A( 则A是x的函数( ( 薄片受温度变化的影响时，边长由x0变到x0(?x(即自变量的增量为?x(金属薄片的面积改变量为 图2-5-1 ??????? 分成两个部分，第一部分是的线性函数，且为的主要部分，如图2-5-1所示，带有斜线的两个矩形面积之和；而第二个部分是图中带有交叉线的小正方形的面积，当时，第二个部分是比高阶的无穷小，由此可见，如果边长改变很小，面积的改变量可以近似地用第一部分来代替.当越小，近似程度越好. 我们去掉上例的实际意义，则可以看成是函数当自变量在处有微小增量时，函数相应的增量. 即函数的增量正好等于函数在的导数与自变量增量的乘积加上一个的高阶无穷小之和. 引例2. 设函数的自变量在处有改变量时，求函数的改变量. 解 此函数的增量正好等于函数在的导数与自变量增量的乘积加上一个的高阶无穷小之和. 那么对于一般的函数是否也有同样的结论呢？ 当函数在处可导时，上述结论成立，即函数的增量可以等于函数在的导数与自变量增量的乘积加上一个的高阶无穷小之和. 2. 函数在点点微分的定义： 　在某区间内有定义，及在此区间内，如果函数的增量 可以表示为 其中是不依赖的常数，那么称函数在点点可微，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作 3. 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件： 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导( 且当函数f(x)在点x0可微时( 其微分一定是 证明( （1）必要性：设函数f(x)在点x0可微( 则按定义有 上式两边除以?x( 得 ( 于是( 当?x(0时( 由上式就得到 ( 因此(函数f(x)在点x0可微f(x)在点x0也一定可导( 且( （2）充分性：如果f(x)在点x0可导( 即 存在( 根据极限与无穷小的关系（P39）( 上式可写成 ( 其中?(0(当?x(0)( f ((x0)不依赖于?x( 所以有 ? 因此f(x)在点x0可导那么f(x)在点x0 也是可微的( 注意： （1）函数f(x)在点x0的微分叫做函数增量的线性主部，是自变量改变量的线性函数； （2） （3）是与无关的常数，但是它与和有关,； （4）当很小时，. （5）函数f(x)在点x0可微f(x)在点x0可导. （函数在点x0可导与f(x)在点x0 可微等价） 例1 求函数在和处的微分 解 函数在处的微分为： 在处的微分为： . 例2　求函数在，时的改变量及微分． 解 ； 可见 . 4. 函数在某一点处微分的几何意义 设函数的图形是一条曲线， 图2-5-2 如图2-5-2，在曲线上取一点，过作曲线的切线，它与轴的交角为，则该切线的斜率为.当自变量在点处取得改变量时，就得到曲线上另一点,过点作平行于轴的直线，它与切线交于点，与过点平行于轴的直线交于， 就是函数在自变量在点处取得改变量时，对应函数值的增量. ， 同时点处的切线对应的函数的得到相应的改变量， 在直角三角形中,有 . 它正好是函数在某一点处微分。 所以函数在某一点处微分就是曲线在点处的切线所对应函数的自变量在点有改变量时函数值的增量. 简单的说微分的几何意义是曲线切线纵坐标的增量。 若函数的可微，当是曲线的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的增量，比的值小很多，因此在点的邻近，用切线段近似代替曲线段. 5. 函数微分的定义: 若函数在区间上的每一点都可微，则称函数为上的可微函数，函数在上的微分记作 ， 通常将自变量的增量称为自变量的微分，记作，即 函数的微分又记为 从而有 函数的微分与自变量的微分的商等该函数的导数。因此，导数叫做“微商”. 由函数的微分可以看出，要计算函数的微分，只要求出导数，再乘以自变量的微分就可以了. 　　例