(IV)第九章第一讲多元函数,偏导数及微分教程方案.ppt

内容小结 6. 微分定义: 7. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 练习题： p47 4 P53 1,2,3,4 P59 1,2 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 第一讲 多元函数，偏导数及微分 一、二元函数的概念 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 映射 称为定义 在 D 上的 2 元函数 , 记作 1. 二元函数的定义 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 2、二元函数的极限 二元函数的极限可写作： 例1. 设 求: ? 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则可以断定函数极限 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 不存在 . 例2. 讨论函数 函数 3、 二元函数的连续性 定义 . 设 二 元函数 定义在 D 上, 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 如果存在 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 2元函数 连续. 连续, 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切二元初等函数在定义区域内连续. 解: 原式 例3.求 练. 证明 在全平面连续. 证: 为初等函数 , 故连续. 又 故函数在全平面连续 . 由夹逼准则得 1、 偏导数概念及其计算 2 、高阶偏导数 二、偏 导 数 定义1. 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意: 一、 偏导数定义及其计算法 同样，可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 偏导数定义为 (请自己写出) 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 注意： 但在该点不一定连续. 上节例 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 例4 . 求 解法1 解法2 在点(1 , 2) 处的偏导数. 先求后代 先代后求 例5. 设 证: 练. 求 的偏导数 . 解: 求证 2、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 例6. 求函数 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 则 定理. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 证明 三、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y ) 可表示成 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 的全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 当函数可微时 : 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 必存在,且有 定理2 (充分条件) 若函数