第七章第七节空间向量的综合应用〔理〕.pptVIP

设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 ∴ 令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)． 同理可得平面A1FD1的法向量n2＝(0,2,1)． 因为n1·n2＝0，所以平面AED⊥平面A1FD1. (2)∵ ＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0， ∴PB⊥AD. 又∵PB⊥DM，AD∩DM＝D， ∴PB⊥平面ADMN. 因此〈 〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角． ∵cos〈 〉＝ ， ∴sin〈 〉＝ ， ∴CD与平面ADMN所成角的余弦值为 . 若本例条件不变，求AM与平面CDN所成角的余弦值． 解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标 [A； ]， 设BC＝1，则A(0,0,0)， P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,1,0)， D(0,2,0)，M(1， ，1)，N(1,0,1)． ＝(1， ，1)， ＝(－2,1,0)， ＝(1，－2,1)， 设m＝(x，y，z)是平面CDN的一个法向量， ∴ ∴x＝ 令x＝1，得m＝(1,2,3)， ∴cos〈 ，m〉＝ ∴sin〈 ，m〉＝ . ∴直线AM与平面CDN所成角的余弦值为 . 利用空间向量方法求二面角，有两种办法： (1)分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小； (2)通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． [特别警示]　利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角． (2009·全国卷Ⅱ)如图， 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥ AC，D、E分别为AA1、B1C的中 点，DE⊥平面BCC1. (1)证明：AB＝AC； (2)设二面角A－BD－C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小. [思路点拨] [课堂笔记]　(1)证明：以A为坐标 原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1 为z轴.建立如图所示的直角坐标 系A－xyz. 设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，则B1(1,0,2c)， E( ， ，c). 于是 ＝( ， ，0)， ＝(－1，b,0). 由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC， · ＝0， 求得b＝1， 所以AB＝AC. (2)设平面BCD的法向量 ＝(x，y，z)， 则 · ＝0， · ＝0. 又 ＝(－1,1,0)， ＝(－1,0，c)，故 令x＝1，则y＝1，z＝ ， ＝(1,1， ). 又平面ABD的法向量 ＝(0,1,0). 由二面角A－BD－C为60°知，〈 〉＝60°， 故 ·cos60°，求得c＝ . 于是 ＝(1,1， )， ＝(1，－1， )， Cos〈 〉＝ ＝ ，〈 〉＝60°. 所以B1C与平面BCD所成的角为30°. 解：由本例(2)知， ＝(－1,1，－ )， 又B(1,0,0)，A1(0,0， )，∴ ＝(－1,0， ). ∴ ＝1－ × ＝－1， 又| |＝2，| |＝ ， ∴cos〈 〉＝ ∴异面直线B1C与BA1所成角的余弦值为 . 在本例(2)的条件下，能否求出异面直线B1C与BA1所成角的余弦值. 利用空间向量解决空间中线面位置关系的论证、空间中各种角的求解问题，以代数运算代替复杂的空间的想象，给解决立体几何问题带来了鲜活的方法.另外，空间向量还可以用来解决许多探索性问题，这类问题具有一定的思维深度，更能考查学生的能力