第七章第六节空间向量及其运算〔理〕.pptVIP

第六节 空间向量及其运算（理） （2）对空间任一点O， （3）对空间任一点O， 2．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四 点共面 （2）对空间任一点O （3）对空间任一点O， 或 或 如图所示，已知 ABCD是平行四边形，P点是 ABCD所在平面外一点，连接 PA、PB、PC、PD.设点E、F、 G、H分别为△PAB、△PBC、 △PCD、△PDA的重心． (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法 证明你的判断． (1)可构造证明 (2)只需证明EG∥平面ABC，EF∥平面ABC. 【解】　(1)证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点． 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心． 所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有： 因为MNQR是一个平行四边形，所以 由共面向量定理知E、F、G、四点共面. 又 所以 (2)由(1)得 又因为EG?平面ABC，所以EG∥平面ABC. 因为 所以MN∥EF， 又因为EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC. 由于EG与EF交于E点， 所以平面EFGH与平面ABCD是平行平面． 所以 2．在以下命题中，不正确的命题个数为 (　　) (1)已知A、B、C、D是空间任意四点，且 ＝0. (2)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件． (3)若a与b共线，则a与b所在直线平行． . (4)对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C 四点共面． A．1　　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析： (1)正确；若a，b同向共线，则|a|－|b|＜|a＋b|，故(2)错；由向量平行知(3)不正确．由空间向量共面知(4)不正确，故共有三个命题不正确． 答案：C 1．方法 应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间向量 的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及 各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来 解决．后者更为简捷． 2．应用类型 (1)证明线线垂直，转化为证a⊥b?a·b＝0，若a＝(a1，a2， a3)，b＝(b1，b2，b3)，则转化为计算a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； (2)在求立体几何中线段的长度时，转化为求a·a＝|a|2， 或利用空间两点间的距离公式． 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心． (1)试证A1、G、C三点共线； (2)试证A1C⊥平面BC1D； (3)求点C到平面BC1D的距离． (1)即证 ∥ . (2)可证 · ＝0， · ＝0. (3)利用 ＝ 可求. 【解】（1）证明： 即A1、G、C三点共线. (2)证明：设 则|a|＝|b|＝|c|＝a， 且a·b＝b·c＝c·a＝0. 又BD∩BC1＝B 因此A1C⊥平面BC1D. (3)由(2)知，A1C⊥平面BC1D，则C到平面BC1D的距离为|CG|， 由（1）知 3．已知一个 60°的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别 是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6， BD＝8， 求：(1)CD长； (2)AB与CD成的角的余弦值． 空间向量及其运算.高考中很少单独命题，常以工具性知识与方法在解答题中考查位置关系的证明、判断及空间角的计算.对解决一些探索性问题更有独到之处.2009年全国卷Ⅱ中利用向量法求线段长（转化为坐标值）及线面用的大小突出了空间向量这一工具知识的作用. (2009·全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1. (1)证明：AB=AC； (2)设二面角A-BD-C为60°， 求B1C与平面BCD