10.2二重积分的计算预案.ppt

例8. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 例9. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案: 例10. 计算 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例6的结果, 得 ① 故①式成立 . 例11. 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 例12. 计算 其中D 为由圆 所围成的 及直线 解： 平面闭区域. 极坐标 交换积分顺序 提示: 积分域如图 定积分换元法 *四、二重积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , * 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 * 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 * 因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 例13. 计算 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 例14. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 例15. 试计算椭球体 解: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. 内容小结 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 (2) 一般换元公式 且 则 极坐标系情形: 若积分区域为 在变换 下 (3) 计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性（偶倍奇零、） 应用换元公式 * 体积的问题对区域有可加性，平顶柱体的体积=底面积×高，所以我们采用分割—代替—求和—取极限的方法来解决这个问题。 * 求和，取极限。 * Di是分割的对象。 * 现在介绍另一种求曲顶柱体体积的方法。即运用定积分中的平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法。 * 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. *四、二重积分的换元法 第二节 二、利用直角坐标计算二重积分 三、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 一、空间中曲顶柱体的体积 对 D 进行分割： 小曲顶柱体 曲顶柱体的体积 一、 空间中曲顶柱体体积问题 曲顶柱体的体积 比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量 小曲顶柱体 平面薄板小块 (底) (高) (密度) (面积) (面积) (小块) 想一想：能不能用定积分的方法来求曲顶柱体的体积？ 利用平行截面面积为已知的几何体体积的计算方法 . 曲顶柱体的体积 . 曲顶柱体的体积 综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法，得到 就是说，二重积分可以通过二次定积分来计算。 由此想想，其它的几种积分是不是也可通 过定积分来计算？ 二、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为Y –型区域 则 当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 说明: (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 练习1. D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 练习2. D 是抛物线 所围成的闭区域. 解法1：将D看作X–型区域, 则 及直线 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 例1. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 例2. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 例3. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X –