3.1.2导数的概念预案.ppt

3.1.2导数的概念 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 1、平均变化率 一般的，函数　　在区间上 的平均变化率为 一.复习 其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10 h t o 求ｔ＝2时的瞬时速度？ 2 我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。 △ｔ＜0时 2＋△ｔ △ｔ＞0时 2＋△ｔ 二.新授课学习 △t0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t0时, 在[2, 2 +△t ]这段时间内 当△t = – 0.01时, 当△t = 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t =0.001时, 当△t = –0.0001时, 当△t =0.0001时, △t = – 0.00001, △t = 0.00001, △t = – 0.000001, △t =0.000001, …… …… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 瞬时速度 　在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 思考： ⑴如何求瞬时速度？ ⑵lim是什么意思？ 在其下面的条件下求右面的极限值。 ⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示? １、函数的平均变化率怎么表示？ 思考： 定义: 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 导数的作用： 在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度； 在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率 导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 一差、二比、三极限 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 三．典例分析 题型二：求函数在某处的导数 例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数. 练习: 计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时 变化率，并说明它们的意义。 这说明: 在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。 练习： 小结： 1求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限 2由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) (2) 求平均变化率 （3）求极限 思考： 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 分析: 解: (1)将 Δt=0.1代入上式，得: (2)将 Δt=0.01代入上式，得: 练习：(1)求函数f(x)＝在x＝1处的导数 解：(1)∵Δy＝－＝ (2)已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a. (2)∵Δy＝a(x＋Δx)2＋c－(ax2＋c) ∴＝－ ∴lim＝lim[－]＝－ ∴f′(1)＝－＝－1 ＝2axΔx＋a(Δx)2 ∴f′(x)＝lim(2ax＋aΔx)＝2