第四节高斯〔Gauss〕求积公式.ppt

第四节 高斯(Gauss)求积公式 一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法 (1) 用待定系数法构造高斯求积公式 （2）利用正交多项式构造高斯求积公式 常用的高斯求积公式 一般区间的Gauss - Legendre 求积公式 如果积分区间是[a,b]，用线性变换 例 利用高斯求积公式计算 解: 令x=1/2 (1+t), 则 用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4 积分精确值为 　　　I=ln2=0 　　由此可见，高斯公式精确度是很高的. 例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较 各种做法比较如下： 1、用Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式，I≈0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式, I ≈ 0.9461359 当n=3时, I ≈ 0.9461090 当n=4时, I ≈ 0.9460830 当n=5时, I ≈ 0.9460830 2:用复化梯形公式 令h=1/8=0.125 3：用复化辛卜生公式 令h=1/8=0.125 4、用Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 5、用Gauss公式 解：令x=(t+1)/2, 算法比较 此例题的精确值为0.9460831... 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜生公式有6位有效数字。 用复合梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。 二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析 三、复化Gauss求积公式 数值分析 数值分析 数值分析 已知Hermite插值误差是 因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即 代入上式 即有 数值分析 数值分析 以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 将积分区间[a , b] n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。 复化Gauss求积公式的基本思想： 下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式. 将积分区间[a , b] n等分， 数值分析 * * 数值分析 前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。 我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间[a,b]上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,……,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。 数值分析 数值分析 考虑更一般形式的数值积分问题 定义：若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m. 数值分析 数值分析 定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式 的代数精度最高为2n+1次。 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为 等式，得： A0 + A1 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x0 A0 + x1