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算法案例〔第一课时〕sakura

算 法 案 例 (第一课时) 欧几里得辗转相除法找出a,b的最大公约数的步骤是: (1)计算a÷b的余数r,若r=0,则b为a,b的最大公约数; (2)若r=0,则把前面的除数b作为新的被除数,把r作为新的除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为a,b的最大公约数. 比较辗转相除法与更相减损术的区别 (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到 回顾反思 辗转相除法是当大数被小数除尽时,结束除法运算,较小的数就是最大公约数. 更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止.较小的数就是最大公约数. 求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时,可依次通过求两个数的最大公约数与第三数的最大公约数来求得. * * 《孙子算经》中的孙子问题 秦九韶《数书九章》的“大衍求一术” 4—5世纪 中国剩余定理 南宋时期 意大利学者斐波那契的《算术》 1202年 欧拉发表关于同余式的解法 高斯的巨著《算术研究》 1734年 1801年 早500多年 1、求两 个正整数的最大公约数 (1)求25和 35的最大公约数 (2)求49和63的最大公约数 2、求8251和6105 的最大公约数 25 (1) 5 5 35 7 49 (2) 7 7 63 9 所以,25和35的最大公约数为 5 所以,49和63的最大公约数为7 辗转相除法 (欧几里得算法) 观察用辗 转相除法求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数 8251=6105×1+2146 结论: 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数,求8251和6105的最大公约数,只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数,也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数,也就是225和135的最大公约数 思考1:从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么? S1:用大数除以小数 S2:除数变成被除数,余数变成除数 S3:重复S1,直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构。 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q + r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 《九章算术》——更相减损术 算理:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 第一步:任意给顶两个正整数;判断他们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。 第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数。 例3 用更相减损术求98与63的最大公约数 解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以,98和63的最大公约数等于7 更相减损术找出a,b的最大公约数的步骤是 (1)任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用2约简;若不是,执行第二步。 (2)以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。

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