线性代数实践〔教师班第8讲〕.ppt

第8章 用向量空间解方程组 8.1 向量和向量空间 二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示 u=[2;4]; v=[3;-1]; plot([2,3],[4,?1],’x’);hold on % 若用中的子程序drawvec， drawvec(u);hold on drawvec(v,’g’);hold off 二维向量张成的空间 平面上的任何一点[w1;w2]是不是一定能用u和v的线性组合来实现？即是不是一定能找到一组常数[c1,c2]，使得 c1,c2取所有可能的值，得到的w的集合就是u和v张成的子空间，在所给的u和v下，它是一个平面。 若u和v两个向量的各元素成简单的比例关系，合成的向量只能在一根直线上，不可能张成整个二维平面。这种情况下，称这两个向量u和v是线性相关的。 2．三维空间中的向量 若v1,v2和v3都是三维空间的列向量。可以用空间坐标中的三个点，或从坐标原点引向这三点的箭头来表示。用矩阵代数表示如下 如果三个基本向量之间线性无关，那么它们的线性组合可以覆盖（张成）整个三维空间。如果三个向量共面，即相关，就不能张成三维空间。判断三个向量的线性相关性，可用行列式。 三维空间向量的相关性 即看三向量并列所得矩阵的行列式 det(A)=0 相关 det(A)≠0 不相关 行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行四边形面积，在三维是三个向量组成的平行六面体的体积。 行列式的几何意义 二维 三维 det(A)=右图平行六面体的体积 n维向量的相关性 在进入三维以上的空间时，已经没有可与面积、体积直接相当的概念可用了，所以采用了秩的概念。如果A的行列式为零，也就是它的秩r小于n时，说明这n个向量是线性相关的。 秩的概念也概括了面积存在（r?2）和体积存在（r?3）的意义，因此，它是更高度的抽象。 8.2 向量空间和基向量 若r个向量是线性无关的，则它们的线性组合的全体V就构成了r维空间Rr 。如果它不是空集，则V称为向量空间。生成V的r个线性无关的向量v称为基向量或基（Basis）。 当r?n时，给定的n个向量就是一组基。如果r?n，那就要在n个向量中选出r个线性无关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的，这时又要藉助于把矩阵简化为阶梯形式的方法。 例8.2 求四个五维向量的子空间 这四个向量组成的矩 阵如右，对它进行行 阶梯简化。程序为： A?[4,?5,?4,?1;0,?3,0,1;?2,1,2,0;?5,4,5,3;?1,4,1,?1] [U0,ip]?rref(A) 得到 ip=1,2,4 其三个枢轴列对应的就是 三个线性无关的列向量。 三个向量空间位置演示程序 三维空间中，为了观察三个向量的空间关系，ATLAST手册还提供了一个演示程序viewsubspaces(u,v,w)，它用蓝色直线显示向量u，同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平面，画在同一张立体图上。例如： u=[-1;1;8];v=[5;-4;7];w=[-3;1;-5]; viewsubspaces(u,v,w),grid on 三个向量的起点都是x?y?z?0的原点。要看清其几何意义，还是需要一定的空间想象力。 三个向量的空间关系 例8.3 w是否在v1,v2,v3的空间内 设 w是否能由v1,v2,v3的线性组合构成的问题，取决于线性方程组 解的存在性。 v1=[7;-4;-2;9]; v2=[-4;5;-1;-7]; v3=[9;4;4;-7]; w=[-9;7;1;-4]; v=[v1,v2,v3]; c=v\w % 把基向量组成矩阵v求解 也可以按det(v)是否为零进行判别 8.3 向量的内积和正交性 在三维空间中，x和y两个向量的内积定义为[x,y]?x1y1?x2y2?x3y3。m维情况可以写成 这是一个标量。向量x与自己求内积： 得到的是其各分量的平方和，其平方根就等于向量的长度（或模、或范数norm）。 内积的几何意义 在平面情况，两向量的内积除以它们的长度是它们夹角的余弦，可以利用下图证明。 根据余弦定律， 最后得到 此结果可推广到高维空间，只是?被抽象化了： 例8.4 基向量长度规一化和夹角 例8.4 求例8.3中的单位基向量v10,v20,v30，并分别求它们之间的夹角。 解：解题的程序为ag822： v10=v1/norm(v1), v20=v2/norm(v2), v30=v3/norm(v1), theta12=acos((v1*v2)/(norm(v1)*norm(v2))) theta13=acos((v1*v3)/(norm(v1