线性代数与空间解析几何〔哈工大〕3.ppt

第三章 几何向量 解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学. 中学学过平面解析几何，那是用代数方法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形，也是多元函数微积分的基础. 3.1 几何向量及其线性运算 3.1.1 几何向量的概念 现实生活中有这样的两种量：数量（标量），即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且还有方向的量，如：力、速度、加速度、电场强度等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不行的. 向量是研究物理学及几何学不可缺少的工具. 1．向量：有大小，又有方向的量称为向量. 用有向线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量），记 或 6．自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（1）方向相同；（2）大小相等（模相等），我们研究的都是自由向量. 所以任意两向量都共面. 3.1.2 几何向量的线性运算 一、加法运算：（向量的加法，数乘向量） 1．平行四边形法规：设 ，则以 为邻边的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记. 3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量，即为和向量， . 二、数乘向量： 为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法. 1．定义： ，则 是一个向量，与 共线，模 与 同向， 时与 反向， . 若 . 例1：在 内，设 ，试用 表示 . 解： 的对角线互相平分 ， 又 . 3.2 向量的数量积，向量积和混合积 3.2.1 向量在轴上的投影 刚才讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算定量的描述. 1．向量的夹角：设有 ，将 的起点放在一起，它们所夹的角 称为向量的夹角，记 . 注：零向量与另一向量的夹角可以在0到 间任意取值.  同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的正向间不超过 的夹角. 2．点的投影：若 为空间中一点， 为一轴，通过 点作垂直于 轴的平面 ，则 与轴 的交点 为在轴 上的投影（一个点）. 3．向量的投影：设有向量 , , 则轴 上的有向线段 的值为 （数量， 向为正数， 向为负数） ， 称为向量 在轴 上的投影，记作 . 定理3.1 向量 在轴 上的投影=向量的模乘以向量与轴夹角的余弦，即： . 证：过点引轴且同向，，且有. 当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；直角时，投影为0. 定理3.2 两个向量的和在某轴上的投影=投影之和. 即： . 此定理可推广： . 3.2.2 几何向量的数量积（点积、内积、标积）  物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是: 抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算. 1．定义（数量积）， . 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影. 2．性