线性空间一〔1–3〕.ppt

概述 线性空间是n维向量空间R n 的推广,是矩阵理论的基础。 定义 设V是一个非空集合，F是一个数域（如实数域R或复数域C），如果在V上规定了下列两种运算，则称V是数域F上的一个线性空间 线性空间的元素也称为向量，它比n维向量有更广泛的含义。 实例5 设R+为所有正实数组成的集合，其上的加法与乘法分别定义为 定理 设V是数域F上的一个线性空间，则 （1）V的零元是唯一的； （2）V中任意元的负元是唯一的； （3） （4）如果 ，则k=0或 。 例3 在三维空间R3中，求k1 , k2 , k3 ,使得 注：讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求解问题。 设 x1 ,x2 , …,x p 是线性空间V 的向量组。 如果存在一组不全为 0 的数 k1 ,k2 , …,kp 使得 命题一 向量组x1 ,x2 , …, xp是线性无关的充要条件 是仅当k1 = k2 = … = kp= 0 时成立 例4 在四维空间R4中，讨论下列向量组的线性相关性。 设x1 ,x2 , …,x n是线性空间V的向量组,如果 （1） x1 ,x2 , …,x n是V的线性无关组， 例1、 证明：在三维向量空间R3中 x1 ,x2 , x3 与y1 ,y2 , y3都是线性空间R3的一组基 例2、P[x]n表示所有次数不超过n 的多项式所构成的一个线性空间,则: 则{Eij:i=1,2, …,m;j=1,2, …,n}是线性空间 引理1 设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基，则对于V的任一元x， x可由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示。 坐标 设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基，则称x由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示的系数为向量x在基x1 ,x2 , …,xn下的坐标，记为X. 引理2 n维线性空间V 的任意n个线性无关的向量x1 ,x2 , …,xn都可构成线性空间V 的一组基。 证明 设x1 ,x2 , …,xn 是n维线性空间V 的任意一组线性无关的向量，x是V的任一向量，只要证明： 推论1 在n维线性空间中，任意m(mn)个 向量必是线性相关的 二、基变换与过渡矩阵 x1 ,x2 , …,xn与y1 ,y2 , …, yn是n维线性空间V的两组不同基。则由基的定义，有 过渡矩阵结论 (1) 过渡矩阵P是可逆矩阵； 例5、求向量 在基x1 ,x2 , x3下的坐标 定理 : 线性空间V的一个子集S是V的一个子空间当且仅当S关于V的加法及数乘是封闭的，即 设x1 ,x2 , …,xk 是线性空间V的任意一组向量，则称所有x1 ,x2 , …,xk线性表示的集合构成的子空间（可以验证其为V的子空间）为生成子空间，记 生成子空间的维数 x1 ,x2 , …,xk 的任一极大无关组构成生成子空间L(x1 ,x2 , …,xk ) 的基。 二、子空间的运算 设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间，定义子 空间的交空间与和空间（仍为V的子空间）： 子空间的维数公式 要证明 三、子空间的直和 解法1： 由向量坐标的定义，可设： 得方程组 解方程组即可 由自然基到基x1 ,x2 , x3的过渡矩阵为 解法2： 求得 利用坐标变换公式，则基x1 ,x2 , x3的坐标为 1、定义：设V是一个线性空间，S是V的一个子集，如果S关于V的加法及数乘也构成一个线性空间，则称S是V的一个子空间。记为 说明：每个非零线性空间至少有两个子空间，一个是它自身，另一个是仅由零向量所构成的子集合，称为零子空间。 一、子空间与生成子空间 例 在三维向量空间R3中，e1 ,e2 , e3是自然基。则 e1 ,e2的生成子空间是x1-x2 平面； e2 ,e3的生成子空间是x2–x3 平面； e1 ,e3的生成子空间是x1–x3 平面； 2、生成子空间 例1、n元齐次方程组 的解的集合构成线性空间， 称为解空间，记为 若设 则 即 称 为A的核空间，A的核空间的维数称为A的零度。 例2、矩阵Am×n的列空间： 矩阵A的列空间又称为A的值域，记为 设矩阵 则 有 基的扩充定理 n维线性空间V 的任意一组线性无关的向量x1 ,x2 , …,xr 都可扩充为线性空间V 的一组基。（可用归纳法证明） 记dim L (x1 ,x2 , …,xk )= r r为向量组x1 ,x2 , …,xk的秩. 从而有： 例如，在线性空间R3中， v1 表示过原点的直线L1 上所有向量形成的子空间，v2 表示另