线性代数–n维向量.ppt

练习： 练习： * 第二节 一、向量的概念 定义 行向量 列向量 或 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 分量全部为零的向量称为零向量，记为 。 数乘等概念完全与矩阵相同. 则 向量的线性运算满足以下八条运算律： (1) a+b=b+a (2) a+(b+g)=(a+b)+g (3) a+θ=a (4) a+(-a)= θ (5) (k+l)a=ka+la (6) k(a+b)=ka+kb (7) (kl)a=k(la) (8) 1a=a 其中a, b, g 都是n维向量, k, l 为实数. 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质： 例1 解 其中 移项规则 P141 习题三 第三节 一、向量组的线性组合 定义 如果两个向量组可以互相表出,则称等价。 例如, b =(2,-1,1), a1=(1,0,0), a2=(0,1,0), a3=(0,0,1), 因为 b = 2a1-a2+a3 , 或者说 b 可由a1,a2,a3 线性表示. 即b 是 a1,a2,a3 的线性组合, ? ? 称 为n维基本单位向量组。 ? 对线性方程组 将系数矩阵A分裂成列向量 则方程组改写为 例1 解 例2 解 但表示法不唯一。 二、向量组的线性相关性 定义 包含零向量的向量组一定线性相关: 单个向量线性相关当且仅当它为零向量: 例3 设 有 ? ? 定理 证 使 则 定理 (线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组 有(无)非零解, 例4 解 判断下列向量组的线性相关性: 线性相关. 解 线性无关. 注意 (1) 写为列向量, 拼成矩阵； (2) 只作行变换。 推论 线性相关(线性无关)的充分必要条件是行列式 n维基本单位向量组 线性无关, 例5 证 例6 证 必线性相关。 用矩阵形式， 有非零解，比如 定理 证 * * * n个数组成的有序数组称为 一个n维向量。 称为向量的分量或坐标。 一般用希腊字母等表示n维向量。 零向量能被任何向量组线性表示: 向量组中每个向量可被该向量组线性表示: 任意一个n维向量都能被向量组线性表示: 线性方程组解的问题，等价于常数列b被A的列向量组线性表示的问题. 设 ,,,, 能否由线性表示? 向量组线性无关的含义： 设为列向量,则向量组线性相关 其中. 这又取决于或. (1) ,,, (2) ,,, , (2) ,,, , n个n维向量 因为是单位阵,满秩. 设线性无关,则,， 也线性无关。 设有一组数，使 即 由于线性无关,故有 解之得 , 由定义，,,线性无关。 无论是否线性无关,向量组 , 因为 , 令, , 所以线性相关. 因为 , 令, 若向量组线性无关,而 线性相关,则能由线性表出,且表法唯一。 线性相关, 存在不全为零的数 ,使 , 若,则 , 不全为零, 这与线性无关矛盾， 所以 , , 即能由线性表出。 若向量组线性无关,而 线性相关,则能由线性表出,且表法唯一。 , , 由线性无关， ， , . (2) 若向量组线性无关,则每个向量各添一个分量后的向量组仍线性无关. 比多一个方程,当然只有零解. 所以只有零解, , 线性无关, , 设均为n维向量, 且, , 故线性相关。 (4) n个n维向量 (5) 若向量组可由向量组线性表出，且，则向量组必线性相关. 若向量组线性无关,且可由向量组线性表出，则. 设向量组，，，，问：满足什么条件时, (1) 可由线性表出，且表示法唯一； (2) 不能由线性表出； (3) 可由线性表出，但表示法不唯一，并求一般表达式。 (1) 时，不能由线性表出； (2) 且时，可由唯一表出； (3) 且时，可由线性表出； 给定n维向量和, 若存在s个数，使，则称是向量组的一个线性组合，或称能被向量组线性表示(线性表出)。 如果向量组(Ⅰ)中每个向量均可由向量组(Ⅱ)线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出； 设向量组,若存在s个不全为零的数，使 则称向量组 线性相关， 在情况下,向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量能被其余向量线性表示。 若线性相关, 即存在不全为零的数, 不妨设, 即可由线性表示； 反过来，不妨设可由线性表示， 即 ， 于是 ， 故线性相关。 ,,, 于是线性相关. 否则称向量组线性无关。 设向量组和均线性无关,