自动控制原理第十章.ppt

解 状态观测器的任意极点配置要求系统是状态完全可观的。所以首先应当检测系统的状态可观性。 如果系统可观, 并已经具有可观标准型, 则可以利用系统的特征方程和以希望配置极点为根的多项式, 根据式(10.17)就可以确定状态观测器的反馈矩阵G,从而确定系统的状态观测器方程。对于不具有可观标准型的系统, 可采用如下的方法设计状态观测器: ① 检测系统的状态可观性。 系统的可观性矩阵Qg及其秩为 所以系统状态完全可观, 但不具有规范形式。对于阶数较高的系统, 设计其状态观测器需要将其转化为可观标准型。 ② 确定变换矩阵T。 根据第九章化可观标准型的方法, 变换矩阵T可确定如下: ③ 化系统为可观标准型。 引入线性非奇异变换 , 则原系统的可观标准型为 其中, ④ 确定可观标准型所对应的反馈矩阵 。 设在可观标准型表示下, 系统的状态观测器的反馈矩阵为 则可观标准型下, 状态观测器的特征方程为 再根据极点配置要求λ1=-3, λ2=-4, λ3=-5建立对应的特征多项式为 f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60 比较上述两个特征多项式, 令其对应系数相等, 则有 所以可观标准型所对应的反馈矩阵 为 此外,还可以利用式(10.17)确定反馈矩阵 ,求出的结果与上述结果相同。 ⑤ 确定给定系统状态方程的状态观测器反馈矩阵G。 所以原系统的状态观测器的状态方程为 因为状态观测器的输出为重构状态, 所以状态观测器的输出方程为 从以上的理论分析以及例10-2可知, 如果要求重构系统的所有n个状态, 则系统状态观测器的阶数与真实系统的阶数相同,即状态观测器的阶数为n,这样的状态观测器称为全维状态观测器。 如果实际系统的某些状态可以直接测量或状态可由独立的输出变量线性表示,则可以减少重构状态的数目,实现重构状态数目少于系统阶数的状态观测器称为降维状态观测器。 2. 带状态观测器的闭环控制系统 图 10-4 带状态观测器的闭环控制系统结构图 设真实系统(或控制对象)的状态空间表达式为 (10.18) 若(A,B)矩阵对是可控的,(A,C)矩阵对是可观的,则可以通过选择状态反馈矩阵K,使得闭环系统的极点按性能指标的要求来配置。如果状态x(t)不能直接量测,那么根据(A,C)矩阵对是可观的条件,可以构造一个观测器,以观测器的输出——重构状态 代替对象的实际状态x(t)进行反馈。状态观测器的状态方程为 (10.19) 并且系统的控制量为 (10.20) 由式(10.18)～式(10.20)所描述的带有状态观测器的状态反馈系统的阶数为2n,其中控制对象和状态观测器均为n阶系统。 进一步分析式(10.18)～式(10.20)可得此2n阶系统的状态空间表达式为 (10.21) 为了便于讨论用 代替观测器的状态向量 , 可将状态空间表达式(10.21)化为 (10.22) 因此, 闭环系统的特征方程式为 (10.23) 可见闭环系统的特征根由两部分组成,一部分与(A－BK)有关, 它们决定了系统状态x的性能;另一部分与(A－GC)有关, 它们决定了观测器的状态估计x 的性能。这两部分特征值可以分别通过对矩阵K和矩阵G的选择来任意确定, 相互之间没有联系。这就使得状态反馈设计和状态估计(重构)设计可以独立进行, 这就是现代控制理论中著名的分离定律。根据这个定律, 只要给定的系统［A,B,C］是可控且可观的,就可以按照极点配置的需要选择K矩阵,决定系统的动态性能;然后再按照观测器的性能要求选择G阵,而G阵的选择不影响系统已经配置好的极点。 ~ 由于通常要求状态观测器的输出——重构状态能快速地逼近系统的实际状态,在状态观测器的极点配置时常常要求观测器的特征值远离虚轴,但是考虑到抗干扰能力, 又不能使观测器的极点过于远离虚轴,因此要在快速性和抗干扰性之间进行权衡。按照一般的工程经验,状态观测器的极点距虚轴的距离为系统希望极点距虚轴距离的5倍以上。 【例 10-3 】 控制对象的状态空间表达式为 试设计带状态观测器的状态反馈系统,使反馈系统的极点配置在λ1,2=-1±j处。 解 设计带状态观测器的状态反馈系统可以按照以下步骤进行: ① 检查控制对象的可控性和可观性。 由于系统可控矩阵和可观矩阵的秩分别为 所以系统是状态完全可控、可观的,从而存在矩阵K、G使得系统及观测器的极点可以任意配置。 ② 设计状态反馈矩阵K。 设K=［k2 k1］, 引入状态反馈后系统的特征多项式为 |sI-(A-BK)|=s2+(5+k1)s+k2