1.2矢性函数的导数与微分教程方案.ppt

1.2　矢性函数的导数与微分 1、矢性函数的导数 　　例２.设 * * 时， 则 叫做矢性函数　　的增量。 记作 　　设有起点在原点Ｏ的矢性函数　　， 性变量ｔ在其定义域内从ｔ变到 对应的矢量分别为 当数 在　　　时， 　　若　　对应于 的增量 与 之比 则称此极限为矢性函数　　在点ｔ处的导数（简 矢性函数的导数 内有定义， 　　定义　设矢性函数　　在点ｔ的某个邻域 并设　　　也在此邻域内， 其极限存在， 称导矢），记作　　或　　， 即 且函数　　　　　　　在点ｔ可导， 即 　　若　　由下列坐标式给出： 则有 求矢性函数的导数 转化为求三个数性函数的导数 求导矢 解： 　　例1　已知圆柱螺旋线的矢量方程为 试证明： 证： 证毕 　　引入圆函数， 其导矢为 为一单位矢量， 故其矢端曲线为一单位圆， 因此　　又叫圆函数； 也为单位矢量， 同样的， 其矢端曲线也是一单位圆。 圆柱螺旋线的方程可写成 　　如图，Ｌ为　　的矢端曲线 　　当　　时， 　　当　　时， ２、导矢的几何意义 是在Ｌ的割线ＭＮ上的一个 矢量。 系指向对应ｔ值增大的一方； 但此时　指向对应ｔ减少的一方 从而　仍指向对应ｔ值增大的一方。 其指向与　一致 其指向与　相反 　　在　　时，由于割线ＭＮ绕点Ｍ转动， 　　当其不为零时，是在点Ｍ处的切线上， 以点Ｍ的切线为其极限位置， 矢量　　， 此时，在割线上的 且 其极限位置也在它的切线上， 即导矢 方向恒指向对应ｔ增大的一方。 且其 导矢在几何上，为一矢端曲线的切向量 指向对应ｔ增大的一方 （１）微分的概念与几何意义 设有矢性函数　　，称 为矢性函数　　在ｔ处的微分。 　　由于微分　是导矢与增量　 当　　时，与　　的方向一致； 当　　时，与　　的方向相反。 其指向： 3、矢性函数的微分 的乘积， 则它是一个矢量， 而且与 导矢　　一样， 也在点Ｍ处与 的矢端曲线Ｌ相切。 微分的坐标表示式 或 例３.设 求：　及 解： （2）　　的几何意义 　　如果将矢性函数　　　　　　　　　看作其 这里　　　　　　　　　， 其模 终点　　　的矢径函数 则（2.5）式可写为 符号的取法：以点M为界 　　另一方面， 则在Ｌ上任一点Ｍ处，弧长的微分是 当ds位于s增大一方时，取正号； 当ds位于s减小一方时，取负号。 （规定了正方向）Ｌ上， 作为计算弧长ｓ的起点， 并以Ｌ之正向作为ｓ增大的方向， 若在有向曲线 取定一点 由此知 即矢性函数的微分的模， 得 　　结合导矢的几何意义知： 　　例　Ｐ10 例4，例5 微分的绝对值。 等于（其矢端曲线）弧 从而由 端曲线的）弧长ｓ的导数　在几何上为一切线方 向单位矢量， 方向恒指向ｓ增大的一方。 矢性函数对（其矢 ４、矢性函数的导数公式 （k为常数） 　　设矢性函数　　　　　　　及数性函数 在ｔ的某个范围内可导， 该范围内成立 则下列公式在 特例： 证明方法与微积分中数性函数的公式类似 复合函数求导公式：若 　　　　　　　，则 两端对ｔ求导（左端用公式（５）的特例），得 证明：必要性　 若　　　　，则有 即　　　＝常数，所以　＝常数 例４.矢性函数　　的模不变的充要条件是 设　＝常数.则有　　　＝常数 充分性 证毕. 此例可简单地叙述 　　特别，对单位矢量 有 如，例２中的圆函数，有 定长矢量　　与其导矢互相垂直