1.2数列极限教程方案.ppt

* 矛盾，惟一性得证。 A B * * 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 例4 证明数列 数列极限的性质 1、有界性 例如, 有界 无界 * 数列有界的几何意义： 2、单调性 注：这里的单调性不是严格单调性，与函数那里的 单调性有差别。 * 性质2（有界性） 收敛的数列必定有界. 证 * * 注1:有界性是数列收敛的必要条件,不是充分条件. 注2:无界数列必定发散. 有界数列不一定收敛. 逆否命题 * * 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (逆否命题) 3. 收敛数列的保号性. 4、子数列的收敛性 注意： 例如， * * ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . * * 说明: 例如， 发散 ! 思考： 数列 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义 用?-N定义证明 的步骤: 1. 给定任意正数? 2. 由|an?a|?寻找正整数N 3. 按照定义的模式写出结论 内容小结 * * 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 * * 思考与练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个发散子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 解: * * 证: 0 * * * * 1.2 数列及其极限 引例1、割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。 0. 问题的引入 * * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 播放 ——(魏晋)刘徽 割圆术 * 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416 * 引例2、截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 阿基里斯追乌龟 10, 1，0.1，0.01，…… ，102-n ，…… 10米 1米 0.1米 得到了一系列的数 这是兔子与乌龟的距离 * 称为无穷数列,简称数列. 1、数列的定义 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 * 例1 数列的例子 定义2.1* * 例1 数列的例子（续） * 2、数列极限的定义 例 观察当n无限增大时，数列的变化趋势和性质. * 2、数列极限的定义 如果不存在这样的A,就说数列是发散的. 定义 记为 或 * 例2 判断下列数列是否收敛，收敛时求其极限. * 1.将当n趋向于无穷大时,xn趋向于正(或负)无穷的情况 称作{xn}的极限为正(或负)无穷大，记作 如果不区分正负无穷,可统一记作 注 这时还是称{xn}是发散的. 2. xn在某几个数附近震荡，则称数列xn为 震荡式的发散. 两种值得注意的发散方式: 数列的极限的数学描述(严格定义) 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 距离刻画 接近程度 如何用数学语言刻画上面的那句话？？？ 如何数学刻画: 当 无限增大时, 无限接近于某一确定的数值A? 无限接近--- 差距离越来越小 取差0.01 0.001 0.0001 …… 无限接近就要取一系列的越来越小的数 * 为什么取整可以， 不是取整+1？ * 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注： 定义 总存在正数N, 不等式 记为 或 几何解释: 其中 注: 数列极限的定义未给出求极限的方法 例1 证明 证 |an?1| 要|an?1|? , 只要 所以,取 ,则当nN时, 就有 即 * 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任 意给定? 0,寻找N, 但不必要求最小的N 关键: 适当的放缩 例2. 已知 证明 证1: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 例2. 已知 证明 证2: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 例4. 已知 证明 证3: 取 则当 时, 有 草稿部分： * * * 证: 练习：证明 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 * 例2 证 关键： 能不能从里面反解