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Matlab工程应用 燕山大学 教师：王 葛 第6章 数据分析与处理 6.1 多项式 6.2 数据插值 6.3 曲线拟合 6.4 基本统计分析** 6.1 多项式 多项式的定义 在数据分析与科学计算中，多项式有着极其重要的地位和作用，通常多项式用下式进行定义，即： p(x)=a0xn+ a1xn-1+ a2xn-2+…+ an-1x+ an Matlab用系数向量p=[a0, a1, a2,…, an-1, an]表示多项式。 多项式创建 直接输入系数法， poly函数法，即通过多项式的零点（根）来创建，poly函数的输入参数是一个向量，每一个元素就是所创建多项式的根 poly函数的输入参数还可以是二维数组，此时返回的是该数组的特征多项式，该多项式的零点就是此二维数组的特征值 特征值、特征向量和特征多项式 设A是n阶方阵，如果存在数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么这个数λ就称为方阵A的特征值，向量x称为A对应于特征值λ的特征向量； 对关系式Ax=λx进行变换，可得：(A-λE)x=0（E为单位矩阵），这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是：|A-λE|=0。 该式|A-λE|=0是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。 例： s=[1 5 -2 5] s = 1 5 -2 5 r=roots(s) %求多项式s的根 r = -5.5257 0.2629 + 0.9142i 0.2629 - 0.9142i ss=poly(r) ss = 1.0000 5.0000 -2.0000 5.0000 disp(poly2sym(ss))%函数poly2sym()将多项式向量转换成符号多项式 x^3+5*x^2-2*x+5 例：A=rand(4),p=poly(A),r=roots(p),e=eig(A) %函数eig() 用来求矩阵的特征值 A = 0.9501 0.8913 0.8214 0.9218 0.2311 0.7621 0.4447 0.7382 0.6068 0.4565 0.6154 0.1763 0.4860 0.0185 0.7919 0.4057 p = 1.0000 -2.7334 1.2135 -0.6543 0.1155 r = 2.3230 0.0914 + 0.4586i 0.0914 - 0.4586i 0.2275 e = 2.3230 0.0914 + 0.4586i 0.0914 - 0.4586i 0.2275 多项式求值 roots(p) 该式返回多项式p的根。 polyval(p,a) 当a为标量时，返回多项式在x=a处的值；当a为向量时，返回多项式分别在向量各元素处的值。 polyval(p,A) A为任意矩阵，此时返回多项式分别在矩阵A各元素处的值，返回结果与矩阵A同型。 polyvalm(p,A) A为方阵，此时返回多项式以矩阵为变量的计算结果 例：p=[1,2,1,-2,0]; x=[1,3,4,-3]; A=[x;x+1;x+2;x+3]; roots(p) ans = 0 -1.3478 + 1.0289i -1.3478 - 1.0289i 0.6956 polyval(p,x) ans = 2 138 392 42 polyval(p,A) ans = 2 138 392 42 32 392 890 8 138 890 1752 2 392 1752 3122 0 polyvalm(p,A) ans = 566 1210 1532