CH3微分中值定理与导数的应用预案.ppt

陕西中医学院数学教研室 内容小结 证: 推论1. 说明 若 内容小结 内容小结 注意: 内容小结 练习：求 的单调区间以及拐点 3.3函数的单调性与曲线的凹凸性 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 3.3函数的单调性与曲线的凹凸性 二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 3.4 函数的极值与 最大值最小值 第三章 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 . 一、函数的极值及其求法 3.4 函数的极值与最大值最小值 函数的极值是函数的局部性质. 例如 , 为极大值点, 是极大值 是极小值 为极小值点, 函数 3.4 函数的极值与最大值最小值 为极大值点 为极小值点 不是极值点 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 定理 1 (极值第一判别法) 3.4 函数的极值与最大值最小值 极值可疑点为导数为 0 或不存在的点. 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大值点， 其极大值为 是极小值点， 其极小值为 例1. 求函数 3.4 函数的极值与最大值最小值 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 定理2 (极值第二判别法) 3.4 函数的极值与最大值最小值 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值 二、最大值与最小值问题 3.4 函数的极值与最大值最小值 3.4 函数的极值与最大值最小值 例1 求函数 在 上的最值。 解： 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 . (小) 3.4 函数的极值与最大值最小值 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 售出该产品 x 千件的收入是 解: 售出 x 千件产品的利润为 问是否 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. 例2. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 3.4 函数的极值与最大值最小值 称为边际成本 称为边际收入 称为边际利润 由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上 即边际收入＝边际成本 （见右图） 成本函数 收入函数 即 收益最大 亏损最大 说明：在经济学中 3.4 函数的极值与最大值最小值 例3：某药厂生产中药罗勒（兰香、香草）胶囊,市场 需求量D（件）为价格P（元）的函数,D（P）=12000-80P 在产销平衡的情况下，总成本函数,C（D）=25000+50D 每件产品纳税1元. 问：P为多少时企业所获利润最大？ 解：收益函数，R（P）=PD（P）=12000P-80P2 成本函数，C（P）=25000+50（12000-80P）=625000-4000P 利润函数：L（P）=R（P）- C（P）-1*(12000-80P) =-80P2+16080P-637000（P0） 令L‵(P)=-160P+16080，则有P=100.5元，只有一个 极大值点，故也是最大值点，L（100.5）=171020元。 问题转化为求L（P）的最大值。 3.4 函数的极值与最大值最小值 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 3.4 函数的极值与最大值最小值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 . 2. 连续函数的最值 3.4 函数的极值与最大值最小值 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 3.5 函数图形的描绘 第三章 无渐近线 . 点M与某一直线L的距离趋于0, 定义.若曲线C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线L为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标差” 一、 曲线的渐近线 3.5 函数图形的描绘 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线