材料力学(静不定).ppt

第十一章 静不定结构 §11-1 超静定问题的解法 静定与超静定的概念 写为矩阵形式： 由位移互等定理：δij＝δji 系数矩阵中只有六个独立的系数，且是关于主对角线的对称矩阵。 先分别计算出系数矩阵及非齐次项的列向量。即可求出未知量列向量X。 计算Δ1 P： 计算δ11 ： 类推出其它系数。 系数矩阵已知，非齐次项已知，未知量矩阵可得： 将 等计算量代入矩阵： 超静定问题 力法正则方程 例题??悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。 问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到包含未知反力的静定结构，称为静定基。 利用叠加原理，分别画出外载荷（图b); 支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。 式中， 分别表示外载荷在静定基中X1和X2方向上产生的位移。 按照归一化要求，改写 式中， 为Xi 方向上的总位移； 为外载荷(P)在静定基中在Xi 方向上的位移； 为未知反力Xj =1在静定基中作用在Xi 方向上的位移； 上式称为力法正则方程， 称为柔度系数。 利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为 提问 ：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要作几次图乘？三次静不定问题呢? 提问 ：运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性 dij=dji 例题??悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。求支反力。 解：画静定基（图a),分别画弯矩图b-d; 代入力法正则方程，得 解联立方程组得， 例题 内力为一次静不定桁架如图6-15(a)所示，设各杆EI相同，求 两种情况下的各杆轴力：(1) 在力P的作用下；(2) P = 0，但杆5升温?T，已知材料膨胀系数?。 解：(1) 断开杆5，加一对约束内力X1即得静定基如图6-15(b)所示。 1 6 1 0 5 P a 4 0 a 3 P a 2 P a 1 轴力N0i 轴力Ni 杆长Li 杆号 i * 概 述 已有的基础： 什么是超静定； 求解超静定问题的基本方法； 超静定结构的性质。 现在的问题是： 怎样利用对称性和反对称性减少未知力的个数？ 能量原理如何应用: ---用于写变形协调方程，求方程中的位移量？ 能量原理在求解 超静定问题上的应用 静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定结构。 超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题. 引例: 在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。 多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（但对于特定地工程要求是必要的）称多余约束。对应的约束力称多余约束反力（B—固端约束） 由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。 超静定次数：未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数 相应的结构称超静定结构或静不定结构。 P A C RA B RB 根据结构及其约束的特点，超静定结构分为三类： 二、　超静定问题分类 １、外力超静定结构－－外部约束存在多余约束。 如： 为一次外力超静定 A B P 3、内、 外超静定结构 ２、内力超静定结构－－仅在内部存在多余约束。 如：封闭刚架在一般的横截面上有三种 内部约束力N、Q及M。 内力超静定结构 A B m P 三、 拉（压）杆超静定问题的解法： 1. 比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。 （1）选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力 解： 例1. 杆上段为铜，下段为钢杆， 杆的两端为固支,求两段的轴力。 F C B A （3）比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。 （2）求静定基仅在原有外力作用下以及仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移 F C B A 解: (1) 画A结点受力图，建立平衡方程 F 未知力个数2个，平衡方程数1个，故为一次超静定。 2. 几何分析法 例2. 结构如图， F 解超静定问题的关键是找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件----即满足变形相容条件。 ① A 1 2 3 A 在F力作用下， 求各杆内力。 1、2杆抗拉刚度为