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第五章、大数定律与中心极限定理 第一节：大数定律 第二节：中心极限定理 第一节 大数定律 大数定律的背景及概念 依概率收敛定义及性质 三个大数定律 小结 一、大数定律的背景和概念 大量随机试验中 1、大数定律的客观背景 例1、掷一颗均匀正六面体的骰子，出现1点的概率是1/6。但掷的次数少时，出现1点的频率可能与1/6相差较大，但掷次数很多时，出现1点的频率接近1/6几乎是必然的。 例2、测量一个长度a，一次测量的结果不见得就等于a，量了若干次，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number) 2、大数定律的概念 本章将介绍三个大数定律： （1）切比雪夫大数定律、 （2）贝努里大数定律 （3）辛钦大数定律。 它们之间既有区别也有联系。 二、依概率收敛定义及性质 定义 性质 请注意 : 例 例 频率具有稳定性即 事件 发生的频率 稳定于 事件 发生的概率 三、大数定律 1、定理一（chebyshev定理的特殊情况） 切比雪夫 则对任意的ε0，有 作前 n 个随机变量的算术平均： 证 由切比雪夫不等式： 上式中令 得 说明 3、 chebyshev定理的另一种叙述方式： 切比雪夫大数定律是1866年被俄国数学家切比雪 夫所证明，它是关于大数定律的一个相当普遍的结论，很多大数定律的古典结果是它的特例。 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε 0 ，有 2、定理二（贝努里大数定律） 或 此定理说明了频率的稳定性。 由定理一有 贝努里大数定律的重要意义： (1)从理论上证明了频率具有稳定性。 （2)提供了通过试验来确定事件概率的方法: 当实验次数很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差可能性很小，是小概率事件 这种方法是参数估计的重要理论基础。 （3）是“小概率原理”的理论基础。 小概率原理：实际中概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的。 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, … 相互独立，服从同一分布，具有数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对于任意正数ε ，有 3、定理三（辛钦大数定律） 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的 期望值提供了一条实际可行的途径. 注 2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况. 3、辛钦定理具有广泛的适用性. 要估计某地区的平均亩产量 ， 要收割某些有代表性块地，例如n 块 地. 计算其平均亩产量，则当n 较 大时，可用它作为整个地区平均亩 产量的一个估计. 当n充分大时有 三、小结 大 数 定 律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性 第二节 中心极限定理 中心极限定理的背景 中心极限定理的定义 中心极限定理 小结 一、中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 二、中心极限定理定义 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量，即： 三、中心极限定理 1、定理四（独立同分布下的中心极限定理） 注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 2、定理五（李雅普诺夫(Liapounov)定理) 李雅普诺夫 条件 请注意 : 3、定理六(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理） 设随机变量 (n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0p1) 的二项分布，则对任意x，有 证