2.1热物理问题的控制方程教程方案.ppt

平衡问题 平衡问题不一定没有时间变量 平衡问题的判断是基于是否定义在封闭边界内，或者说是基于控制方程是否为椭圆型方程 依赖区和影响区 过任意点 P 有两条特征线，构成两个特征区域，下游称为P点的影响区，上游称为P点的依赖区 依赖区：为了唯一确定P点的值，依赖区上点的条件必须完全给定；影响区：当P点的值变化时，影响区内点的值也随着变化 特征线和依赖区 任意时刻 t，解域被垂直于行进方向轴的直线 t=const 区分为两个区域。此线称为该抛物型方程的特征线 以此线为分界线，它的整个上游区域都是依赖区，整个下游区域均为影响区 物理分类 平衡问题 对流问题 行进问题 扩散问题 对流扩散问题 2.2.2 偏微分方程的数学分类 单个方程，多个方程 单自变量，多自变量 低阶导数，高阶导数 二阶偏微分方程 线性方程：系数a、b、c、d、e、f 均为常数或只是x、y的函数 拟线性方程：系数 仅为x、y、?、?x、?y 的函数 非线性方程：系数 是?xx、?xy、?yy 的函数 以下为线性方程的数学分类方法 引入坐标变换 坐标变换的 Jacobi 行列式 系 数 最重要的特征： 对于任何非奇异的坐标变换， 的符号不变！ 线性方程的特征分类方法： 三种类型方程形式的简化 和 标准型式 简化的方法是通过坐标变换使方程的某些系数变成 0 其中系数A: 系数C： 方程分类 求解一阶方程 改写为： 特征方程和特征线 是二阶线性偏微分方程 的特征方程。 特征方程的一般积分曲线，是其特征线！ （1） 双曲型方程 双曲型方程的第一种标准形式或简称为标准形式 再引入坐标 转化为 物理实际 数学上的双曲型方程对应物理上的对流传播问题 二阶双曲型方程，过定义域上任意点，有两条实特征线构成两个特定区域—下游（前向）是影响区，上游（后向）为依赖区； 特征线是物理量沿其传播的方向线，也是方程高阶法向导数的弱间断线； 对非线性双曲型方程物理量在传播过程中可能形成间断。 （2） 抛物型方程 当 方程变为 积分得到一族实特征线 以此为坐标，则有 A=0 且 B=0 选取坐标转换： 物理实际 数学上的抛物型方程对应物理上的扩散问题； 过定义域上任意点，只有一条实特征线将整个求解域区分为两个区域—下游（前向）是影响区，上游（后向）为依赖区 物理量垂直于特征线的方向向前传播，并在瞬刻到达整个影响区，但受扰动的影响大小随传播距离迅速衰减，表明抛物型方程具有耗散性； 穿过特征线，函数及其法向导数连续； 对非线性抛物型方程，物理量在传播过程中不会形成间断，这是方程本身具有耗散特性所致 （3）椭圆型方程 当 引入坐标变换： 物理实际 数学上的椭圆型方程对应物理上的平衡问题； 定义域里任意一点的解，完整依赖于整个封闭边界上的条件，各点的解相互耦合，因此椭圆型方程的依赖区是整个封闭边界，而影响区是整个定义域。 三类方程的标准型式 双曲型方程 抛物型方程 椭圆型方程 对线性波的情况(a=常数)，波形不变 对于非线性波问题，波在传播中要变形 若为压缩波，还可能逐渐发展成解为间断的激波 (2) 扩散问题 例：非稳态导热、粘性流体中一个突然启动的作匀速运动的平板所引起的旋涡扩散 控制方程对应数学上的抛物型方程 例2.3 一维导热杆的瞬态温度分布 控制方程和初边条件 精确解 温度随时间呈指数衰减 - 具有耗散特性 （3） 对流-扩散问题 既包含对流，又有扩散，为对流扩散问题 方程除了一阶的时间或类时间坐标导数外，含有一阶、二阶的空间导数项 时间或类时间导数代表行进过程，一阶空间导数代表对流，二阶空间导数代表扩散 控制方程 解的特征： 非稳项 对流项 扩散项 方程主部 转换为新坐标下的方程： 构造方程: 假如：以此方程的一个特解作一个坐标，另一个特解作另一个坐标，则可简化为： A=C=0, B≠0 有两个特解 只有一个特解 没有实的特解 定义隐函数 y(x) 积分 双曲型方程的第二种标准型式 当 两族特征线 方程变为 以此为坐标系，则 （积分得到实特征线） （构造得到非奇异坐标） 抛物型方程的标准型式 方程变为 积分得到 以此为坐标则 椭圆型方程的标准型式 第2章 热物理问题的数学描述与偏微分方程的分类 胡 茂 彬 /~humaobin/ humaobin@ 内容提要 热物理问题的控制方程 方程的物理分类 方程的数学分类 2.1 热物理问题的控制方程 热物理过程：流动、传热、传质、燃烧