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第四章 刚体的运动规律 一．内容提要 1.刚体模型和刚体一般运动规律 刚体模型：如果物体的形状和大小不能忽略，而其形变可忽略时，可视为刚体模型。刚体模 型是一种特殊的质点系统模型。 刚体的运动可以分解为以质心为代表的质点平动以及系统绕质心的旋转运动。 2.转动惯量 刚体绕固定转轴（z轴）的转动惯量为： 平行轴定理： 3.刚体定轴转动的角动量和转动动能 4.刚体定轴转动的角动量定理和动能定理 刚体定轴转动的角动量定理： 刚体定轴转动的动能定理（力矩做功）： 二．要点 1.刚体是特殊质点系统模型，在对转动惯量、角动量、力矩等物理参量的计算以及相关定律 的使用时，要注意各参量所对应的参考点。 2. 由于内力成对出现，在考察动量、角动量和动能时都不用考虑内力的问题，质心系下的 力学规律是解决刚体问题的关键。 3.刚体问题处理方法 1）刚体的转动惯量与模型有关，首先要确定刚体的转动惯量是对处于哪个位置转轴的转动 惯量； 2）考虑刚体的运动是定轴转动还是平面平行运动：定轴转动时只需考察刚体对轴的角动量 和刚体的机械能（势能和转动动能），平面平行运动可分解为绕质心的定轴转动和质心的平 动，采用质心系的力学规律进行处理； 3）刚体平面运动时各质元对轴具有相同的角速度和角加速度。 习题解答 4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理：一个平面刚体薄板, 对于垂直板面的某轴的转 动惯量, 等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和, 即 I =z I +I 。 x y 分析：本题按照坐标分解，考虑其物理意义。 解：令平面薄板处于 x-y平面，垂直于薄板向上的方向为 z轴。 由定义求得： 注意：本题的结论可普遍适用，但是要注意使用的前提条件：平面无限薄板。 4-2 计算由三根质量均为 m长为l 的均匀细杆组成的正三角形绕通过一顶点并垂直于三角 形平面的轴的转动惯量。 分析：注意转动惯量具有可加性与平行轴定理。特殊的是与顶点相对的那根细杆，可以认为 转轴在杆AB 的中间然后平移到顶点O，可以用平行轴定理。 解：OA和OB绕O点的转动惯量都是ml /3，2 对于绕AB 中点垂直于AB 的转轴，转动惯量为ml/12，则AB对于过O点的垂直于三角形2 平面的转轴，有： 2 ml2  3  5 I  m l  ml 2 ， OAB 12  2  6 2 2 2 总的转动惯量：I =2*ml /3+5ml/6=3ml /2。 O 4-3一半圆形均匀细杆，其半径为 R，质量为 m，如图所示，试求细杆对过圆形圆心和端点 的轴 AA 的转动惯量。 分析：本题直接用质量连续分布情况下转动惯量的公式求解。注意对微元的划分应使每个微 元具有空间均匀性，可以用同样的函数表达。由空间特点，显然选择极坐标，可以只有角度 θ一个变量。 解：如图建立极坐标。 2 按照定义，有dI=r dm， 采用极坐标，有： m dm Rd ， R 轴在AA ，因此各质元距轴的距离为Rsinθ，带入公式，采用定积分，有： 2 2  2 2 mR mR  1cos2 mR I  R sin  d   d 。 0 R  0  2  2 4-4 计算一个内半径为R ，外半径为 R 的圆筒对其几何中心轴的转动惯量。 1 2 分析：可以直接用转动惯量的定义求解，也可以用转动惯量的相加性。可以认为由两个具有 相同密度的圆筒组成，从实心的大圆筒中挖去中间的小圆筒。 解法 1：设圆筒的质量为M，高为h体密度为ρ，则有： 小圆筒质量为 2 ，转动惯量为 2 ， m Rh mR /2 1 1 1 1 实心的大圆筒质量为m Rh2 ，则转动惯量为mR /22