留数定理和其在积分中的运用.doc

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文 留数定理及其在积分中的运用 （Residue theorem and the use in the Calculus） 姓 名： 刘 燕 学 号： 0507010122 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 易 才 凤（教 授） 完成时间：2009年*月*日 留数定理及其在积分中的应用 【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 【关键词】解析 孤立奇点 留数 留数定理 Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】 This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc. On this basis, We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem 目录 1引言 .................................................. 2预备知识....................................... 2.1 复积分............................................. 2.2 解析函数极点及留数................................. 2.3留数的计算方法................................. 3留数定理.......................................... 3.1留数定理........................................ 3.2 留数定理的证明................................... 3.3 留数定理的推广.............................. 4 应用留数定理计算积分............................ 4.1复积分的计算..................................... 4.2实积分的计算.................................... 5参考文献 6 致谢 1 引言 众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具. 在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法. 其基本思想是：为了求实函数在实数轴上的某一段上的积分，我们在上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决预备知识 复变