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第05讲函数图象和数字特征
第五讲—函数图象及数字特征
一.课标要求:
1.掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等;
2.掌握各种图象变换规则,如:平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等;
3.识图与作图:对于给定的函数图象,能从图象的左右、上下分布范围,变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题;
4.通过实例,了解幂函数的概念;结合函数的图像,了解它们的变化情况为主,利用它们的图象及性质解决实际问题;
预测2010年高考函数图象:(1)题型为1到2个填空选择题;(2)题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题;
函数综合问题:(1)题型为1个大题;(2)题目多以知识交汇题目为主,重在考察函数的工具作用;
幂函数:单独出题的可能性很小,但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决;
三.要点精讲
1.函数图象
(1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本的重点运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处,要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换这也是个难点;的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到;y=f(x)y=f(x+h);2)y=f(x) y=f(x?h);
Ⅱ、竖直平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到;
1)y=f(x) y=f(x)+h;2)y=f(x) y=f(x)?h。
②对称变换:
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;y=f(x) y=f(?x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;y=f(x) y= ?f(x)
Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到;y=f(x) y= ?f(?x)
Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
y=f(x) x=f(y)
Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到;y=f(x) y=f(2a?x)。
③翻折变换:
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方,去掉原轴下方部分,并保留的轴上方部分即可得到;
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到
④伸缩变换:
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩()为原来的倍得到;
y=f(x)y=af(x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩()为原来的倍得到。
f(x)y=f(x)y=f()
(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
2.幂函数
在第一象限的图象,可分为如图中的三类:
图
在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所涉及的幂函数中限于在集合中取值。
幂函数有如下性质:
⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交;
⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性,定义域为的幂函数都不具有奇偶性;
⑶幂函数都是无界函数;在第一象限中,当时为减函数,当时为增函数;
⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点;
四.典例解析
题型1:作图
例1.(06重庆 理)如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f(x)的图象是( )
解析:显然当时,阴影部分的面积等于圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,,即点在直线的下方,故应在C、D中选择。而当当时,阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,,即点在直线的上方,故应选择D。
点评:该题属于实际应用的题目,结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系,特别是函数单调性与函数图象个关系;
例2.(1996上海,文、理8)在下列图象中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是( )
解析一:由指数函数图象可以看出01。抛物线方程是y=a(x+)2-,其顶点坐标为(-,-),又由01,可得--0.观察选择支,可选A。
解析二:求y=ax2+bx与x轴的交点,令ax2+bx=0,解得x=0或x=-,而-1-0。故选A。
点评:本题主要
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