第1节(平面向量的概念及运算性质).doc

第一节平面向量的概念及其线性运算 [知识能否忆起] 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 三、向量的数乘运算及其几何意义 1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： |λa|＝|λ||a|； 当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. 2．运算律：设λ，μ是两个实数，则： λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. [小题能否全取] 1．下列命题正确的是(　　) A．不平行的向量一定不相等 B．平面内的单位向量有且仅有一个 C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反 解析：选A　对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A. 2.如右图所示，向量a－b等于(　　) A．－4e1－2e2　　B．－2e1－4e2 C．e1－3e2　　　D．3e1－e2 解析：选C　由题图可得a－b＝＝e1－3e2. 3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是(　　) A．＝　　　　　　　　B．＝2 C．＝－ D．＝－2 解析：选B　＝＋＋＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2. 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]， 所以解得 答案：－ 　共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 向量的有关概念 典题导入 [例1]　给出下列命题： 两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； 若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若a与b同向，且|a||b|，则ab； λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为(　　) A．1　　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 [自主解答]　不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线． 正确．＝，||＝||且. 又A，B，C，D是不共线的四点， 四边形ABCD是平行四边形． 反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝. 不正确．两向量不能比较大小． 不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． [答案]　C 由题悟法 1．平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法． 2．几个重要结论 (1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关.以题试法 1．设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；若a与a0平行，则a＝|a|a0；若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故也是假命题．综上所述，