第4节平面向量应用举例.doc

第四节　平面向量应用举例 一、向量在平面几何中的应用 1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． 2．用向量解决常见平面几何问题的技巧 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线、相似等问题 共线向量定理 a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0(b≠0) 其中a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥ba·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角) 二、向量在物理中的应用 1．向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． 2．向量在速度的分解与合成中的应用． 3．向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s. 1．已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为(　　) A．2.5　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．5 2．已知O是ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则O是ABC的(　　) A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 3．若·＋2＝0，则ABC为(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形 4．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为________． 5．(2012·湖南高考)在ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝(　　) A. B. C．2 D. 6．(2013·福建高考)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　) A. B．2 C．5 D．10 考向一 [080]　向量在平面几何中的应用 　(1)(2014·长沙模拟)在ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则ABC为(　　) A．等边三角形　　B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 (2)(2014·济南模拟)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(　　) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为两边的三角形面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积 (3)已知ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________． 规律方法1　1.向量在平面几何中的三大应用：一是借助运算判断图形的形状，二是借助模、数量积等分析几何图形的面积；三是借助向量探寻函数的最值表达式，进而求最值.2.平面几何问题的向量解法?1?坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.?2?基向量法,适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. 对点训练　(1)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是ABC的(　　) A．重心、外心、垂心　　B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 (2)(2013·课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________. 考向二 [081]　向量在物理中的应用 　(1)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．2　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．6 图4－4－1 (2)如图4－4－1所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m，问F、摩擦力f所做的功分别为多少？ 规律方法2　1.物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型.2.应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比.例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比.3.用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题.　 　考向三 [082]　向量在三角函数中的应用 　(2013·辽宁高考)设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的