脱水关节4基本图形性质和功能的再认识.doc

关节四 基本图形性质与功能的再认识 所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。 正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。 一、线段的性质和线段中点的功能 应掌握好： 1、线段的两种变换性质； 2、线段中点的三项功能。 1、线段的变换性质 从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心） 如图，是任意三角形，请画出和具有全等的关系。 【观察与思考】如果把要画的看作是由变换而来的，那么这个变换使线段BC变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。 （1） （2） 解：如图（2）（其中直线是BC所在的直线，点为点A关于直线的对称点；直线是线段BC的垂直平分线，点为点A关于直线的对称点；点O是线段BC的中点，点和点A关于点O为对称。都和全等。 【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。 2、线段中点的三项功能 （1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线 三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。 例2 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AG//DB，交CB延长线于点G。 若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。 【观察与思考】首先，由，GB//AD，AG//DB，知四边形AGBD已是平行四边形，其次， 由四边形BEDF是菱形，而点E是AB的中点，即ED是中AB边上的中线，且 DE=EB=AE，立刻知道，即四边形AGBD是矩形。 解：（略） 【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出 从DE=EB=AE，导出。 （2）构造三角形的中位线 例3 如图（1），已知，AD是的中线，E是AD上一点，连结CE并延长交AB于点F。 （1）若E是AD的中点，则 ； （2）若AE：ED ； （3）若AE：ED，则 ； （1） 【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF，交AB于点M，EF为的中位线，得AF=FM， DM为的中位线，得BM=MF。可知。 （2）如图（3），作DM//CF，交AB于点M，易知，∽, 得。又DM为的中位线，得DM=FM， （2） （3）类比于（1）和（2），应有（其实可有与（2）类似的推演过程） 【说明】本题解决的关键就在于构造出的中位线DM。 （3）构造中心对称图形 线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造” （3） （特别是中心对称型 全等三角形）来使相关问题获得解决。 例4 已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC 求证： 【观察与思考】以BD及其中点A为基础，构造“中心对称型”三等三角形。 解法提示：如下面图（1），（2），（3）。 （2） （3） （1） 方法一：如图（1），延长CA到F，使FA=CA，连结FD，有，DF=BC=DE，得 方法二：如图（2），分别作交CA的延长线于N，垂足为M，则有得，DN=BN，进而推得，得 方法三：如图（3）延长CA到G，使得AG=EA，则得再由BG=DE=BC，得。 特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。 例5 操作： 如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与线段MN相交于点O，利用图（1）画出一对以点O为对称中心的全等三角形。 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。 （1） （2） 探究：如图（2），在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC边的中点，与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论。 【观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ上点O的两侧分别取点E，F使OE=OF，就有（图略）对于图（2），延长AE到G，使EG=EA，连结CG，如图（2`）。由“操作”的结论可知， 得AB=GC，即CG//AB，而CF//A