“随机振动”读书报告.doc

《随机振动理论》读书报告 1 引论 在工程中，一个具体系统的振动往往是很复杂的。它同时受着许多因素的影响，其中有的因素是确定性的、可以估计的。也有的因素是随机的、无法估计的．因此一切实际系统的振动都具有一定的随机性。也就是说严格地讲，一切实际的振动都是随机振动．只是当对问题解答的精度要求不高，可以略去次要的随机因素的影响时，就把问题简化为确定性的。 在确定性的分析中，如果结构的初始状态、动力特性以及外加荷载都是已知的、确定的，那么由结构的运动方程就可以得到结构的确定性响应。 但在实际中，外加荷载、初始条件以及结构本身都具有随机性，因此可采用三类随机微分方程来分析这些问题： (1)第一类随机微分方程只有初始条件是随机的。这一类问题首先起源于统计物理学和动力学理论。近年来在工程力学、化学动力学等领域中起着重要的作用。例如空间弹道分析就含有随机初值问题。 (2)第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项(外荷载项)。 单自由度系统在地震地面加速度作用下的运动方程： (3)第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程。这种方程的研究是近年来才开始。因为在研究实际工程技术和物理问题时。由于系统本身的不确定性和复杂性，不可避免地给数学模式带来不确定性的因素，因此，采用随机系数的微分方程是很自然的，而且亦是合理的。例如这类方程会出现在非均匀介质中波的传播和物理、工程、生物领域中不完全确定系统的动力学问题中。 研究随机振动的目的，是研究结构在随机激励下随机响应的概率特性；从工程观点来看，其最终目的分析结构系统在随机激励下，研究结构在其使用期内的功能和可靠度。所以，在随机振动理论分析中，将荷载(外加激励)系统作为随机过程加以模型化，并用概率论来定量评价结构(机械)系统具有何种程度的可靠度(安全度)。 2 概率论的若干基本知识 通常把具有某种特定性质的对象的全体称为集合，简称集。其中每一个属于这种“集”的对象，称为集的一个元素。 概率 古典定义：设在一个试验，有也只有N个可能发生的情况，并且每个情况都是等可能。其中恰恰有u个情况具有性质A，则A的概率为u/A，记作P(A)=u/A，0≤P(A)≤1。 随机变量、概率分布函数和概率密度函数 随机变量：离散型、连续型 概率分布函数 （2.1） 概率密度函数 当连续可导时，定义概率密度函数 （2.2） 按定义： ； 联合分布的随机变量 联合概率分布函数 概率分布函数和概率密度函数的概念可以推广到两个或两个以上随机变量的情况。在求解实际问题中我们往往需要知道两个或更多个随机变量的联合性质。 首先研究两个随机变量的情况。设X1及X2分别为时刻t1及t2时的随机激振力。X1及X2的联合性质由联合概率分布函数描述如下： 条件分布和统计独立性 1)如果两个随机变量X及Y为离散型，则在条件Y=y下X=x的概率为： 2)对于连续型的两个随机变量: 定义Py(y)=0时，PX|Y(x,y)=0。 3)独立性的定义 对于离散型随机变量X及Y，如果X独立于Y则有。 对于连续型随机变量X及Y，如果X独立于Y则有。 得到： 期望值 设为一随机变量，若该式有定义（即积分保持有限），则的期望值定义为。（集合平均或统计平均） 对于随机变量函数的期望值定义为， 该结果可以推广到多维随机变量函数，若多维积分保持有限，即 则有： 矩 一阶矩（即期望）：； 二阶矩：； n阶矩：； 联合（m＋n）阶矩：； 中心矩 若取一定值x0，则概率密度函数相对于x0的n阶矩为： 若取x0=： n阶中心矩： 方差： 标准方差： (m+n)阶联合中心矩： 对于两个随机变量和的情况，定义协方差为： 协方差的标准形式（随机变量和的相关系数）： 特征函数 定义：设为一连续型实随机变量，取指数函数eiθ，其中θ为实数，再取他的数学期望，特征函数为， 是的Fourier变换。考虑到实际上，即满足绝对可积条件，则由Fourier逆变换，可得 因此，和是组成一Fourier变换对。 由特征函数的Maclaurin级数展开式，可得，说明一个随机变量概率分布的完整描述需要无穷多个矩。 对数特征函数 利用对数特征函数的主值 式中为x的n阶累积量（半不变量）。 Fourier变换 正变换 逆变换 3 随机过程 基本概念 随机过程是一个所有可能出现的样本函数，的集合；一个随机过程，对于固定的是一个随机变量。一簇随机变量，，，，的总体定义了随机过程。一个随机过程等价于一个随机变量的无限集。 随机变量的数学定义：如果对的每个有限集，有相应的随机变量集合，，，，它们有联合概率分布函数 ， 则这簇联合分布函