曲面法向量余弦.doc

空间曲面某点法向量的求法 曲面方程 F(x,y,z)=0 的一个法向量可以为 n = { ?F/?x, ?F/?y, ?F/?z} 特别的,若曲面方程能表示成 F(x,y,z)=z-f(x,y)=0 那么法向量可以为 n = ±{ -?f/?x, -?f/?y, 1},+表示法向量向上,-表示法向量向下 单位化之后就是 n。= ±{ -?f/?x, -?f/?y, 1}(1/|n|) , 其中|n|= [1+(?f/?x)2+(?f/?y)2]^(1/2) 至于为什么有负号 ?F/?x=?[z-f(x,y)]/?x=?z/?x-?f(x,y)/?x=-?f/?x 这里注意这里在求?F/?x时要将y,z都看成常数1 对曲面而言，求各变量在某一点的偏导数，即为这一点的法向量。切向量我们假设以x为变量（参数），则切向量为（1,0,Zx)。以y为变量，则切向量为（0，1，Zy)。验证以x为参数的切向量（1，0，Zx）：因为Zx = -Fx/Fz，而法向量为（Fx,Fy,Fz)。所以 1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz = 0，所以两者正交，证毕。其余同理。2 而对于平面曲线而言，我们可以考虑其为，缺少的那一维向量的无限延伸，这样无论是封闭曲线还是不封闭曲线都可以抽象成一个曲面，这样求各变量的在某一点的偏导数既为这一点的法向量。（内外法向加一个正负进行区分）而平面曲线的切向量可以按照这种方法去考虑：把x看做变量，y为因变量，然后求y对x的偏导数，则切向量即为（1，Yx)。3 对于空间曲线，只考虑两个曲面给出一个方程组的形式。 F1(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0。切线求法1：可以将x理解为自变量，y和z为x的因变量（自变量可以随便去选），然后分别求因变量关于自变量的偏导数，然后得出一点的切线向量（1，Yx, Zx)。（三种形式）切线求法2：求出两个曲面的法向量，然后做差乘（向量积），结果也是切线向量。----关于空间曲线法线向量的求法我个人建议，如果你题目已经知道了切向量的情况下，个人建议可以利用Schimidt正交化一下，立马得出法向量。但是如果没有切向量而是直接去求法向量的话可以总结为以下步骤：——按照步骤1归纳的方法求出两个曲面的切向量，然后进行差乘，即为空间曲线某一点的法向量。赞同