奥赛训练之“递推法”.doc

六、递推法 方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。。 。。 。。。 (n + 1)n =n (n + 1)at （2）同理：可推得nt内通过的总路程s =n (n + 1)(2n + 1)at2 例2：小球从高h0 = 180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n = 2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。m/s2） 解析：小球从h0高处落地时，速率v0 == 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率v1 = 第二次跳起时和又落地时的速率v2 = …… 第m次跳起时和又落地时的速率vm = 每次跳起的高度依次为h1 ==，h2 ==，……， 通过的总路程Σs = h0 + 2h1 + 2h2 + … + 2hm + … = h0 +(1 +++ … ++ …) = h0 += h0=h0 = 300m 经过的总时间为Σt = t0 + t1 + t2 + … + tm + … =++ … ++ … =［1 + 2+ … + 2()m + …］ ===18s 例3：A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。。设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔Δt ，在每一个Δt内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔Δt ，正三角形的边长分别为a1 、a2 、a3 、… 、an ，显然当an→0时三只猎犬相遇。vΔt a2 = a1－vΔt = a－2×vΔt a3 = a2－vΔt = a－3×vΔt …… an = a－nvΔt 因为a－nvΔt = 0 ，即nΔt = t 所以：t = （此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。。μmg) Δs =m 拉第一节车厢时：(m + m)= mv1 故有：==(－μg) Δs (F－2μmg) Δs =×2m－×2m 拉第二节车厢时：(m + 2m)= 2mv2 故同样可得：==(－μg) Δs …… 推理可得：=(－μg) Δs 由＞0可得：F＞μmg 另由题意知F = 31μmg ，得：n＜46 因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。。mgd 例6：如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi（i = 2 、4 、…）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）。 。。i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni 、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1。NiL = Ni+1，得：Ni =Ni+1 所以：N1 =N2 =N3 = … = ()5N6 ① 再以A6B6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1 、质点向下的压力mg 。+ mg= N6L ② 由①、②联立，解得：N1 = 所以，A1B1薄片对A6B6的压力为。 例7：用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L ，横截面是边长为h（h =）的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值。 。Δx1 = 第2块相对第3块的最大伸出量为Δx2（如图6—4所示），则： GΔx2 = (－Δx2)G 得：Δx2 == 同理可得第3块的最大伸出量： Δx3 = …… 最后归纳得出：Δxn = 所以总跨度：k = 2= 11.32h 跨度与桥孔高的比值为：==1.258 例8：如图6—5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n = 1 、2 、3 、…）。。。。 （1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 解析：当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔。2v0 = (M + m)v1