如何准确地作出需要辅助线.doc

正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线： 例1．已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF= 分析：题设中含有D是BC中点，E是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法： （1）过D点作DN∥CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=，再证△AEF≌△DEN，则有AF=DN，进而有AF= （2）过D点作DM∥BF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF= 方法二：分析结论，作出辅助线 例2：如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径， 求证：AB·AC=AE·AD 分析：要证AB·AC=AE·AD，需证 （或），需证△ABE∽△ADC（或△ABD∽△AEC）， 这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得 ∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C（或∠B=∠E） 因而得证。 方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线 例3：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E； 求证：AE∶ED=2AF∶FB 分析：已知D是BC中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线； 若要出现结论中的AE∶ED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DM∥EF交AB于M，可得，再证BF=2FM即可。 方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。 例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线： （1）有弦，作“垂直于弦的直径” 例4：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD 分析：过O点作OE⊥AB于E，则 AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BD （2）有直径，构成直径上的圆周角（直角） 例5：已知：如图，以△ABC的AC边为直径， 作⊙O交BC、BA于D、E两点，且， 求证：∠B=∠C 分析：连结AD，由于AC为直径，则有AD⊥BC，又，有∠1=∠2，由内角和定理得∠B=∠C （3）见切线，连半径，证垂直 例6：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB 分析：连结OC，由于CD为切线，可知 OC⊥CD，易证：∠1=∠2，又因为∠2=∠3， 所以∠1=∠3，则可得AC平分∠DAB （4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 例7：已知，直线AB经过⊙O上的一点，并且OA=OB，CA=CB； 求证：直线AB是⊙O的切线 分析：连结OC，要证AB是⊙O的切线， 需证OC⊥AB，由已知可证△OAC≌△OBC， 可得∠OCA=∠OCB=900，结论得证。 例8：已知，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=900，BC是⊙O的直径，BC=CD+AB， 求证：AD是⊙O的切线 分析：过O点作OE⊥AD，垂足为E， 要证AD是⊙O的切线，只要证OE是⊙O的半径即可， 也就是说需要证OE=，由于∠A=900，AB∥CD，可得AB∥CD∥OE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=，所以E点在⊙O上，AD是⊙O的切线。 （二）练习 1、已知： 如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC． 求证： DE∥BC，DE＝BC． 2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中， AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF． 求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）． 3、已知：如图27.3.13所示,在△ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC. 求证：AE、DF互相平分。 4、如图：已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，M为上一点，AM的延长线交DC的延长线于F， 求证：∠AMD=∠FMC 与圆有关的辅助线常规作法解析 与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考—— 一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径） 例1.如图，以Rt△ABC的直角顶点A为圆心，直角边AB为半径的⊙A分别交BC、AC于点D、E, 若BD=10cm，DC=6cm，求⊙A的半径。 解：过A作AH⊥BD于H，则。 ∵BA⊥AC，∴∠CAB=∠AHB=90°。又∵∠ABH=∠CBA，∴△ABH∽△CBA，∴，∴，∴。 例2.如图，AB是⊙