定积分的求法和应用.doc

目 录 第1章 引言 1 第2章 定积分的求法 1 2.1 定积分概念 1 2.2 定积分的求法 2 2.2.1 运用定义求定积分 2 2.2.2 运用几何意义求定积分 2 2.2.3 运用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 3 2.2.4 运用换元积分法求定积分 3 2.2.5 运用分部积分法求定积分 4 2.2.6 运用凑微分法求定积分 5 2.2.7 运用数学软件Mathematic求定积分 6 第3章 定积分的应用 6 3.1 定积分的数学应用 6 3.1.1 求平面图形的面积 6 3.1.2 由平面截面面积求体积 8 3.1.3 求平面弧长 9 3.1.4 在数学建模中的简单应用 10 3.1.5 在初等数学中的应用 10 3.2 定积分的物理应用 11 3.2.1 变力作功 11 3.2.2 液体静压力 12 3.3 定积分的经济应用 13 第4章 结论 14 第5章 参考文献 15 第6章 致谢 16 定积分的求法与应用 作者：雷蕾 指导老师：王勇 第1章 引言 目前，对于定积分的求法和应用的研究是比较全面和完善的。但是，对于定积分的求法与应用的研究没有停止，了解了定积分的基本概念后，我们要学会总结归纳定积分的一般性求法以及具有特殊特征的函数的求法。同时，将定积分应用于数学问题的求解中以及物理学和经济学的实际问题中是非常必要的。理论联系实际，对于生活中出现的现象，学会用定积分求解也是一种非常重要的工具。 第2章 定积分的求法 2.1 定积分概念 定义1：设闭区间[,]上有个点，依次为=…=,它们把[,]分成个小区间=[,], =1,2, …,.这些分点或这些闭子区间构成对[,]的一个分割，记为{,,…,}或{,,…,}。（详见[1][3]） 定义2：设是定义在[,]上的一个函数。对于[,]的一个分割{,,…,}，任取点, =1,2, …,，并作和式，称此和式函数在[,]上的一个积分和。（详见[1][3]） 定义3：设是定义在[,]上的一个函数，是一个确定的实数。若对任给的正数，总存在某一正数，使得对[,]的任何分割，以及在其上任意选取的点集{}，只要,就有，则称函数在区间[,]上可积；数在[,]上的定积分，记作.其中，称为被积函数，称为积分变量，[,]称为积分区间，、分别称为这个定积分的下限和上限。（详见[1][3]） 2.2 定积分的求法 2.2.1 运用定义求定积分 首先，我们考虑用定积分的定义来求解。根据定义，分三步求解：将[,]分成个小区间，求得分割；近似求和；取极限. 例1 用定义计算. 解 （1）分割 把等分，=…， （2）近似求和 取=， === （3）取极限 == 说明：这种利用定义，“三步走”的方法，求出积分和的极限来计算定积分一般而言是比较困难的。下面会介绍几种简便的方法。 2.2.2 运用几何意义求定积分 定积分的几何意义：连续曲线在[,]上形成的曲边梯形面积为；对于[,]上的连续函数，当，时，定积分的几何意义就是该曲边梯形的面积；当，时，这时是位于轴下方的曲边梯形面积的相反数，称为“负面积”。（详见[1]） 利用定积分的几何意义，证明. 解 令，显然， 则由和直线， 所围成的曲边梯形是单位圆位于轴上方的半圆. 如图1所示. 因为 单位圆的面积， 所以 半圆的面积为. 由定积分的几何意义知： . 说明：对于一般图形的表达式，能够清楚地画出在坐标轴中的图像。然后求出在上下限所规定的范围内，图像表示的面积，就可得出定积分的结果。推广：对于本题中将上下限改为，则半圆的面积为，即定积分的值。这种方法是十分直接简单的。 2.2.3 运用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 定理1 若函数在[,]上连续，且存在原函数，即，则在[,]上可积，且.这称为牛顿—莱布尼茨公式，也常写成 .（详见[1]） （1） 利用牛顿—莱布尼茨公式计算. 解 由公式（1） 说明：题中函数的原函数为，. 牛顿—莱布尼茨公式解题法，首先要求用不定积分求出函数的原函数，然后利用公式即可算出。这种方法不仅为定积分计算提供了一个有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 2.2.4 运用换元积分法求定积分 定理2 若函数在[,]上连续，在上连续可微，且满足 ，，则有 定积分换元公式：.（详见[1][2]） (2) 计算. 解 令，当从变成时，从增到。于是由公式（2）及得到 +- 对最末的第二个