定积分思想的理论延拓和应用.doc

本科毕业论文(设计) 题目： 定积分思想的理论延拓及应用 学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 指导教师 山东财政学院教务处制 二Ｏ一一年 五月 定积分思想的理论延拓及应用定积分的概念 .1定积分的定义一般地，设函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分．记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限． 说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：等分区间； ②近似代替：取点； ③求和：； ④取极限： （3）曲边图形面积：；变速运动路程； 变力做功 .2定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积． 说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号． 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值． 考察和式 不妨设 于是和式即为 阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积） .3定积分的性质 性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 （定积分的线性性质） 性质4 （其中acb） .4用定积分求解简单的问题 .4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为,假设每一个基本的小块横截面积为A（x）,则此小块的体积是A(x),将所有的小块加起来，另，我们可以得到其体积v=lim其中 a和 b分别为计算体积的起始值和终了值.下面来看几个例题 例1求椭圆面所立体的体积 解：以平面)截椭球面,得椭圆在YOZ平面上的正投影所以截面面积函数为 于是求得椭球体积 显然当=r 时,就等于球的体积 .4.2定积分在初等数学里的应用 近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用 证明不等式 运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设与都在上可积且；则特别的当时，有 例证明贝努利不等式 已知且且 求证：证明：若或且时 。因此 即为若或且时因此 由此可得综合以上可得：当时，且 且 时有 由上面的证明我们可以推广，去掉条件时，结论仍然成立．所以，我们可以得到一个一般的结论 设 则若时，有 若或时，有 当且仅当时，两式中的等号成立例已知是实数，并且，其中是自然对数的底，证明 证明：当时，要证明，只要证明 既要证明 时，因为 从而 所以当时， 于是得到 求和：根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可. 定积分在几何中的应用 .1定积分的微元法 定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用．首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法（或元素法）. 在将具体问题中所求的量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分： 时，总是把所求量看作是与变量的变化区间相联系的整体量．当把区间划分为若干小区间时，整体量就相应地分为若干部分量，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间具有可加性. 划分区间后，在各部分区间上，求出部分量的近似表达式，由可加性，总量的近似值可以表达成和式（由于点任意选取时，和式极限有确定的值，常取为区间的左端点），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量可用定积分来表达 一般地，如果某一实际问题中所求量满足以下条件： 是与变量的变化区间有关的量，且对于该区间具有可加性，所求量就可用定积分来计算.具体步骤如下： （1）确定积分变量，并求出相应的积分区间 （2）在区间上任取一小区间，并在该小区间上找出所求量的微元 （3）写出所求量的积分表达式，然后计算它的值. 这里通常称为所求量的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达