实例的说明利用Excel进行主成分剖析.doc

方法: 1 利用Excel2000进行主成分分析 第一步，录入数据，并对进行标准化。 【例】一组古生物腕足动物贝壳标本的两个变量：长度和宽度。 图1 原始数据和标准化数据及其均值、方差 （取自张超、杨秉庚《计量地理学基础》） 计算的详细过程如下： ⑴ 将原始数据绘成散点图（图2）。主持分分析原则上要求数据具有线性相关趋势——如果数据之间不相关（即正交），则没有必要进行主成分分析，因为主成分分析的目的就是用正交的变量代替原来非正交的变量；如果原始数据之间为非线性关系，则有必要对数据进行线性转换，否则效果不佳。从图2 可见，原始数据具有线性相关趋势，且测定系数R2=0.4979，相应地，相关系数R=0.7056。 ⑵ 对数据进行标准化。标准化的数学公式为 这里假定按列标准化，式中 ， 分别为第j列数据的均值和标准差，为第i行（即第i个样本）、第j列（即第j个变量）的数据，为相应于的标准化数据，为样本数目。 图2 原始数据的散点图 图3 标准化数据的散点图 对数据标准化的具体步骤如下：① 求出各列数据的均值，命令为average，语法为： average(起始单元格:终止单元格)。如图1所示，在单元格B27中输入“=AVERAGE(B1:B26)”，确定或回车，即得第一列数据的均值；然后抓住单元格B27的右下角（光标的十字变细）右拖至C27，便可自动生成第二列数据的均值。 ②求各列数据的方差。命令为varp，语法同均值。如图1所示，在单元格B28中输入“=VARP(B2:B26)”，确定或回车，可得第一列数据的方差，右拖至C28生成第二列数据的方差。 ③ 求各列数据的标准差。将方差开方便得标准差。也可利用命令stdevp直接生成标准差，语法和操作方法同均值、方差，不赘述。 ④ 标准化计算。如图1所示，在单元格D2中输入“=(B2-$B$27)/$B$29”，回车可得第一列第一个数据“3”的标准化数值-1.786045，然后按住单元格D2的右下角下拖至D26，便会生成第一列数据的全部标准化数值；按照单元格D2的右下角右拖至E2，就能生成第二列第一个数据“2”的标准化数据-1.806077，抓住单元格E2的右下角下拖至E26便会生成第二列数据的全部标准化数值。 ⑤ 作标准化数据的散点图（图3）。可以看出，点列的总体趋势没有变换，两种数据的相关系数与标准化以前完全相同。但回归模型的截距近似为0，即有，斜率等于相关系数，即有。 ⑶ 求标准化数据的相关系数矩阵或协方差矩阵。求相关系数矩阵的方法是：沿着“工具（T）”→“数据分析（D）”的路径打开“分析工具（A）”选项框（图4），确定，弹出“相关系数”对话框（图5），在“输入区域”的空白栏中输入标准化数据范围，并以单元格G1为输出区域，具体操作方法类似于回归分析。确定，即会在输出区域给出相关 图4 分析工具选项框 图5 相关系数对话框 系数矩阵的下三角即对角线部分，由于系对称矩阵，上三角的数值与下三角相等，故未给出（图6），可以通过“拷贝——转置——粘帖”的方式补充空白部分。 图6 标准化数据的相关系数和协方差 求协方差的方法是在“分析工具”选项框中选择“协方差”（图7），弹出“协方差” 选项框（图8），具体设置与“相关系数”类似，不赘述。结果见图6，可以看出，对于标准化数据而言，协方差矩阵与相关系数矩阵完全一样。因此，二者任取其一即可。 图7 在分析工具选项框中选择“协方差” 图8 协方差选项框 ⑷ 计算特征根。我们已经得到相关系数矩阵为 ， 而二阶单位矩阵为 ， 于是根据公式，我们有 按照行列式化为代数式的规则可得 根据一元二次方程的求根公式，当时，我们有 据此解得，（对于本例，显然，）。这便是相关系数矩阵的两个特征根。 ⑸ 求标准正交向量。将代入矩阵方程，得到 在系数矩阵中，用第一行加第二行，化为 由此得，令，则有，于是得基础解系 ，单位化为 单位化的公式为（）。 完全类似，将代入矩阵方程，得到 用系数矩阵的第二行减去第一行，化为 于是得到，取，则有，因此得基础解系为 ，单位化为 这里、便是标准正交向量。 ⑹ 求对角阵。首先建立标准正交矩阵P，即有 该矩阵的一个特殊性质便是，即矩阵的转置等于矩阵的逆。根据，可知 下面说明一下利用Excel进行矩阵乘法运算的方法。矩阵乘法的命令为mmult，语法是mmult (矩阵1的单元格范围，矩阵2的单元格范围)。例如，用矩阵 与矩阵C相乘，首先选择一个输出区域如G1:H2，然后输入“=mmult(A1:B2,C1:D2)”，然后按下“Ctrl+Shift+Enter”键（图9），即可给出 1.20604