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根和系数的关系、韦达定理
充满活力的韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在:
运用韦达定理,求方程中参数的值;
运用韦达定理,求代数式的值;
利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征;
利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】
【例1】 已知、是方程的两个实数根,则代数式的值为 。
思路点拨:所求代数式为、的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例
【例2】如果、都是质数,且,,那么的值为( )
A、 B、或2 C、 D、或2
思路点拨:可将两个等式相减,得到、的关系,由于两个等式结构相同,可视、为方程的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于、的对称式,这类问题可通过变形用+、表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧:
(1)恰当组合;(2)根据根的定义降次;(3)构造对称式。
【例3】 已知关于的方程:
(1)求证:无论m取什么实数值,这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根、满足,求m的值及相应的、。
思路点拨:对于(2),先判定、的符号特征,并从分类讨论入手。
【例4】 设、是方程的两个实数根,当m为何值时,有最小值?并求出这个最小值。
思路点拨:利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性。
【例5】 已知:四边形ABCD中,AB∥CD,且AB、CD的长是关于的方程的两个根。
(1)当m=2和m2时,四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P,Q,PQ=1,且ABCD,求AB、CD的长.
思路点拨:对于(2),易建立含AC、BD及m的关系式,要求出m值,还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式。
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1、(1)已知和为一元二次方程的两个实根,并和满足不等式,则实数取值范围是 。
(2)已知关于的一元二次方程有两个负数根,那么实数的取值范围是 。
2、已知、是方程的两个实数根,则代数式的值为 。
3、CD是Rt△ABC斜边上的高线,AD、BD是方程的两根,则△ABC的面积是 。
4、设、是关于的方程的两根,+1、+1是关于的方程的两根,则、的值分别等于( ) A.1,-3 B.1,3 C.-1,-3 D.-1,3
5、在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,a、b是关于
的方程的两根,那么AB边上的中线长是( )
A. B. C.5 D.2
6、方程恰有两个正整数根、,则的值是( )
A.1 B.-l C. D.
7、若关于的一元二次方程的两个实数根满足关系式:,判断是否正确?
8、已知关于的方程。
当是为何值时,此方程有实数根;
(2)若此方程的两个实数根、满足:,求的值。
9、已知方程的两根均为正整数,且,那么这个方程两根为 。
10、已知、是方程的两个根,则的值为 。
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