灰色模型介绍和应用.doc

第十章 灰色模型介绍及应用 （徐利艳 天津农学院 2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3 GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题 本章小结 思考题 推荐阅读书目为原始数列，为次累加生成后数列，即 则次累加生成算式为 一般常用的是一次累加生成，即 10.1.3GM建模机理 建立GM模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM（Grey Model）。如GM（m,n）称为m阶n个变量的灰色模型，其中GM（1，1）模型是GM（1，n）模型的特例，是灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种GM（1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍GM（1，n）建模过程。 GM（1，1）的建模机理 GM（1，1）模型是GM（1，N）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是 利用常数变易法解得，通解为 若初始条件为，则可得到微分方程的特解为 或时间响应函数 其中白化微分方程中的项中的为的背景值，也称为初始值; 为常数（有时也将写成）。 按白化导数定义有差分形式的微分方程，即 显然，当时间密化值定义为1，即当时，上式可记为 记为离散形式 这显然表明是一次累计生成，因此上述方程可改写为 这实际也表明，模型是以生成数（是以的一次累加）为基础的。 当足够小时，到不会发生突变，因此可取与的平均值作为时的背景值，因此，背景值便可记为 或 于是白化的微分方程可改写为 或 即 因此，上述方程可以改写为矩阵方程形式，即 引入下列符号，设 于是便有 令 则 解得 将求解得到的代入微分方程的解式（也称时间响应函数），则 由于，因此求导还原得 上述两式便为GM（1，1）的时间响应式，及灰色系统预测模型的基本算式，当然上述两式计算结果只是近似计算值。 为简记，一般可以将GM（1，1）的建模过程记为 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 GM（1，1）模型是灰色系统最基本的模型，下面以污染物浓度问题说明GM（1，1）模型的建立及求解过程。 例10.1 某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表10.1，试建立GM（1，1）模型 表1 某污染物质量浓度测量值 （mg/L） 年 份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 3.936 4.575 4.968 5.063 5.968 5.507 解：第一步，设原始数据为 第二步，对原始数据进行累加生成，即 因此累加生成数据为 第三步，构造矩阵 第四步，计算。 先求，即 根据逆矩阵的求解方法，得 再求的值，即 进而求得的值为 计算GM1_1的程序如下 function 10toliti01(X0) [m,n]=size(X0); X1=cumsum(X0); X2=[]; for i=1:n-1 X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1); end B=-0.5.*X2; t=ones(n-1,1); B=[B,t]; YN=X0(2:end); P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1)) A=inv(B.*B)*B.*YN.; a=A(1) u=A(2) B b1=B.*B b2=inv(B.*B) b3=B.*YN. b4=u/a b5=X1(1)-b4 b6=-a*b5 第五步，将的值代入微分方程的时间响应函数， 令，得 第六步，求导还原得 第七步，对上述模型进行精度检验。 常用的方法是回代检验，即分别用模型求出各时刻值，然后求相对误差。 先利用时间响应函数模型求各时刻值（），并计算相对误差，结果如表10.2所示. 表 精度检验实测值、残差值表 GM计算值 实测值 残差