矩阵迹的性质和应用.doc

矩阵迹的若干个性质与应用 姓名：某某 指导老师：某某 摘　要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的范数定义Cauchy —Schwarz 不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。 关键词：迹 矩阵 范数 特征值 1 引言 矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。 2 预备知识 定义1 　设,则称为 的迹。 定义2 　设,记与向量范数相容的 的 一范数为: (2) (3) (4) (5) 引理：矩阵迹的性质: 1 证明：设 则 又 所以得证 2 (为任意常数) 证明：设则 由（1）与（2）知 3 证明：设 则，其中所以有 其中，所以有 得证 4 证明：矩阵取转置运算主对角线上的元素不变，所以等式很显然成立。 5 证明：令（3）中即可得证。 6 证明：令（3）中即可得证。 7 （是的特征值） 证明：由若当定理知 因为相似矩阵迹相等，所以 8 证明：设矩阵的特征值为 则矩阵的特征值为 则由（7）即可得证 9 若,则;特别， （下面定理有证明） 10 若，，则 有了上面关于矩阵的迹定义及性质的介绍，下面我们通过举例来看其在解题中的应用。 3 解题中的应用 例1 设为同阶实对称矩阵，若正定，则和不相似。 证：假设相似,则由性质9 知, 再由性质1 得 故由性质10 知 不是正定阵,与已知矛盾从而, 和不相似。 例2 设n阶矩阵的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证 证：设为的全部特征值，且则有 又的主对角线上的元素全是1，知 则 所以 。 例3 已知 阶方阵，若对所有的阶方阵 有 ,则。 证： 设，则有某。作矩阵，使,时，。 则矩阵主对角线上的元素 。与已知矛盾故 例4 设，的特征多项式为 ，则。 证　因为 所以　。 例5 设 , , 都是 矩阵,且 , , ,则存在不大于的自然数 ,使得。 证： 先证. (为任意自然数) (1) 由(1) 和性质1、3 得： 再证 的特证值都等于0。 设 的特征值为则存在可逆矩阵 ,使 所以 从而　　 （2）,设 的互异的非零特征值为,且重数分别为。 则(2) 式变为: 取前 个等式,因为范德蒙行列式，因此。即非零特征值都是0 重,故 的特征全为0 。 　再证。 由于 的每个若当块都形如 因此 令: ，则 例6 满足 的矩阵叫做幂等阵,试证：幂等矩阵的迹与秩相等。 证:设 阶阵为幂阵,且的秩,则的特征值是0 或1 ,且具有 个线性无关的特证向量,因而, 与对角阵相似。 故必有满秩阵 存在，使 上式右端的对角阵的秩等于的秩 ,即该矩阵中的对角元素(特征值)有个为1 ，个为0 。故由性质7 知 例7 设有阶实对称矩阵 ,若，则有。 证：因为 ,所以半正定,故存在阶矩阵 u 其中是第个行向量，使得 于是。 又因为 维列向量有 于是 由Cauchy - Schwarz不等式知， 所以 即 从而 故有 例7 设为一个阶矩阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记作.证明：如果对任意的阶方阵，都有，则 证： 设，取,则 所以. 即 例8 证明：不可能有阶方阵满足 证：设 ， 为任二阶方阵，则主对角线上的元素为 它们的和为 同样，的主对角线上元素的和为 亦即与的主对角线上元素的和相等，从而的主对角线上元素的和为零.但是，单位方阵的主对角线上元素的和为因此 4 下面介绍一些有关矩阵迹的定理 定理1 Cauchy-Schwarz公式： 设都是n阶矩阵，则有 证明：设, 则由向量的内积定义式，其中为与的夹角 即。 推广到矩阵的迹的形式，即为 定理2 schur不等式 设设是n阶矩阵，则有 证明：因为 又因为是反对称矩阵，故有 定理3 设为阶对称矩阵，则有 证明：由Cauchy-Schwarz公式可知 又 即得 定理4 设都是阶实对称矩阵，则有 证明： 都是阶实对称矩阵，又由引理2可得 又由引理3可得 同时有 即可得结论。 定理5 设阶矩阵的所有特征值都是实数，且，若恰有个特征值，则 证明：设的个特征值为。因为，由引理1 知 的特征值为不为零，而其余的特