论文：基本不等式的应用和其推广.doc

天水师范学院 题 目 基本不等式的应用及其推广 学院：数学与统计学院 班级：13级数应（1）班 学号：20131010130 姓名：文丽萍 论 文 提 要 在数学分析中，不等式不仅仅是一个重要并且有效的工具，也是数学分析中重要的研究对象。在许多证明和分析的过程中充分的体现了不等式的灵活性和巧妙性，例如在解决三角函数相关问题、求函数最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比较复杂的问题迎刃而解。也正因为不等式的这种多变性，使得不等式在证明过程中不只有一种形式，只有正确的掌握了不等式的运用方法才能使解题更简单。本文通过几个例子来具体说明不等式在证明过程中的运用。 常用不等式的应用 摘要：数学分析中的不等式是一个比较常用的解题方法，同时运用不等式也是种简便的解题方法，但运用不等式却是一种技巧，想要熟练的掌握不等式的应用就要多思考、多总结，本文列举了数分中常用的不等式，并通过几个例子对不等式的运用进行了说明。 关键词：数学分析 不等式 证明 一、数学分析中常用不等式举例： 数学分析中的不等式有较高的利用率，本文列举了八个数学分析中较常用的不等式，并对它们运用进行说明。 1、三角函数不等式：（0x） 1- (x) ＜＜x（x＞0） 常应用在解决三角函数的证明和分析中 2、积分不等式：设函数，在上可积，则有 3、积分基本性质中得不等式：若与为上的两个可积函数且， 常应用于判别积分的单调性和大小等方面。 4、詹森不等式：若为上的凸函数，则对任意，0 有。 常应用于函数凹凸性问题的分析解答 5、柯西不等式：设为，则。 6、平均值不等式：设为n个正整，且，则当且仅当所有都相等“=”成立。 常和缩放法联合运用 7、柯西--施瓦茨不等式: 设 常应用在无穷级数和乘积的积分中，是柯西不等式的一个推广 8、三角不等式： 二、不等式的应用举例 了解数学分析中比较常见的不等式，更要灵活的运用这些不等式解决数学分析中的问题，以下就是对本文介绍的不等式的应用举例。 柯西施瓦茨不等式及其他不等式的运用说明 例1：已知f在区间上可积，则证明不等式 分析：利用柯西—施瓦茨不等式构造新的等式形式，并建立如下的式子 f（x）=f（x）， g（x）=1 。 证：令f（x）=f（x），g（x）=1， 则有 例2：证明若级数Σ与Σ收敛，则级数和也收敛 。 分析:灵活运用柯西-施瓦茨不等式及不等式的转化形式 证:运用不等式知识有 由于收敛，则有也收敛， 而 故绝对收敛， 由于 故收敛。 例3：若和在上可积，则。 分析：根据柯西不等式构造推广后的不等式，并构造积分不等 ，再求关于t 的判别式。 证:若与可积，则、、都可积，且对任何实数t,也可积，又，故 即由此推得关于t的二次三项式的 别式非正， 总结：在不等式的证明过程中，柯--瓦茨不等式有这重要的作用，在解题时柯西施瓦茨不等式会与其他不等式联合运用，并通过改变不等式的形式或构造辅助函数完成证明过程，如在例1、例2、例3中都对不等式进行了合理变化，并构造了新的等式及不等式，又结合了积分的性质和级数的敛散性等，使证明过程简便。 （二）詹森不等式的应用举例 例4：设证明下列不等式 ? ? 及等号成立的条件？ 分析：利用詹森不等式及三角不等式 证：? + = 所以 当时等号成立。 ?= 在此处运用不等式 0= 所以 等式成立的充要条件是=。 例5：证明不的不等式，其中a，b，c均为正整数 。 分析：利用詹森不等式， 证：设0，由的一阶和二阶导数，可见， 在x0时为严格凸函数，依据詹森不等式有 ，从而 即 又因，所以 总结：詹森不等式是凸函数理论中重要的不等式，应用它可以证明著名的霍尔德不等式，并可以用它来构造其他形式的不等式对数学分析中的问题进行解答，以上例题合理的将詹森不等式与其他不等式结合，充分的运用了不等式的灵活性。 绝对值与三角不等式的运用举例 例6：证明在区间上一致连 。 分析：运用三角函数不等式和利普希茨条件即可。 证：任意有，任意0取，则， 且，有= 因此在上一致连续。 例7：设x与y是中两个不同的量，=，证明：U= 。 分析：利用三角不等式，构造相应的区间。 证：假设U，则存在， 即，从而有== 产生矛盾,于是=