一些重要不等式的证明和应用定稿.doc

一些重要不等式的证明及应用 摘要：在数学分析或高等数学中积分不等式是重要的内容之一，本文深入讨论了几个重要不等式。这些不等式不仅仅本身很重要,而且这些不等式的证明方法也十分典型。本文讨论的几个重要的不等式是Cauchy不等式、 Schwarz不等式、平均值不等式以及Holder不等式的基本形式，我们也给出这些不等式的一些证明及其应用。 关键词：Cauchy不等式 Schwarz不等式 平均值不等式 Holder不等式 引言 众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因而有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。利用著名的不等式证明其他不等式，为任意实数 则 （1） 其中等号当且仅当和成比例时成立，（1）式称为Cauchy不等式. 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步. 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解. 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用. 1.2 Cauchy不等式的几种证明方法 证明方法一：利用判别式法进行证明 那么关于x的二次三项式保持非负，所以判别式为 .即有 方法二：利用的是配方法，证明如下：因 所以不等式获证,等号当且仅当 方法三: 可以利用二次型来证明,证明如下: 即关于的二次型非负定，因此 ，即有 用方法三很容易将将结果进行推广因为： 此式右边为的二次型，此式表明该二次型非负定，故系数型列式 等号当且仅当线性相关时成立，并且它的系数行列式是Cauchy不等式的推广形式. 方法四：利用欧式空间中内积性质证明 设是n维欧式空间V的一组向量，而 证明：当且仅当时，线性无关即在一般欧式空间中线性无关时，由两向量生成的欧式空间与平面上向量全体所成欧式空间同构，所以成立，方法四是采用的欧式空间的内积性质来证明的，比较容易理解，比较简单。由此我们很容易看出一些结论，线性相关，于是定理得证。作为柯西不等式的特殊情况，在实线性空间中，令，并定义如下立即可得到柯西不等式. 利用柯西不等式来证明时，有些可以直接应用，有些则需要使用一些方法如拆分常数、改变结构、重新排列等，来构造出符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关问题的目的。同时，与其他定理的应用一样，对柯西不等式也要正用、逆用、变用、连用、巧用. 2. Schwarz不等式的证明及应用 2.1 Schwarz不等式的基本形式 Cauchy不等式的积分形式称为Schwarz不等式.它通过积分定义，直接由Cauchy不等式推得. 定理2 若在上可积，则 （2） 若在上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为零）. 2.2 Schwary不等式的几种证明方法 证明方法一：将等分，令应用Cauchy不等式， 方法二：令取极限即可 由此可以看出，若连续，等号当且仅当存在常数（不全为零）使得时成立. 2.3 Schwary不等式的应用 类似可以推广到一般情况，若函数，在上可积，则。若在上连续，其中等号当且仅当线性相关时成立. 应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式.使用时要注意恰当地选取函数与.从下面例子可以看出，在证明其他不等式时有时需要对积分作适当的变形，才能使用Schwarz不等式. 例1已知，在上连续，为任意实数，求证： 证明如下： 上式左端第一项应用Schwarz不等式 所以同理可得把上面两式相加即可得出. 例2设在上有连续的导函数，，试证： 证明：令,,则，由知 ，因此 （应用Schwarz不等式） 3. 平均值不等式的证明及应用 3.1 平均值不等式的基本形式 定理3 对任意个实数恒有 （3） （即几何平均值算术平均值），其中等号当且仅当时成立. 3.2 平均值不等式的几种证明方法 证明此不等式我们通常采用大家都比较熟悉的反向归纳法. 证明方法一：要想证明命题对一切成立,首先有: (等号当且仅当) 其次 (等号当且仅当时成立) 类似,,重复上述方法k次 （等号当且仅当时成立） 方法二：令A=，那么 假设不等式