不等式的基本性质及解法.doc

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号： 学员编号： 年 级：高一 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 不等式的基本性质和解法 授课时间 教学目标 1.不等式的基本性质能够灵活应用 2.不等式的解法，包括一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 重点、难点 一元二次不等式的解法 考点及考试 要求 一元二次不等式，绝对值不等式和分式不等式的解法 教学内容 一、知识要点： 1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有： (1)对称性或反身性：abba； (2)传递性：若ab，bc，则ac； (3)可加性：aba+cb+c，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：ab，当c0时，acbc；当c0时，acbc。 不等式运算性质： (1)同向相加：若ab，cd，则a+cb+d； (2)正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd。 特例：(3)乘方法则：若ab0，n∈N+，则； (4)开方法则：若ab0，n∈N+，则； (5)倒数法则：若ab0，ab，则。 掌握不等式的性质，应注意： (1)条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号； (2)不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的 例1： 1)、的大小关系为 . 2）、设,且则与的大小关系是 . 3）已知满足, 试求的取值范围. 例2.比较与的大小。 例3.解关于x的不等式。 例4.已知a,b为非零实数，且ab则下列命题成立的是 （ ）07年13 A、 B C D 一元二次不等式的解法 一元二次不等式 的解法。 解法一：原不等式可化为 ，它等价与 将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原不等式的解集 解法二：利用数轴 ， －1、3将数轴分成三个部分， 当时， 所以 当时， 所以 当时， 所以 可得原不等式的解集 还可得到解集为。 解法三：利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数取正值时的取值范围，即求该二次函数的图像在轴上方时的取值范围。 我们知道，二次函数 的图像是一条开口向上的抛物线，它与轴有两个交点，由方程的解可得交点的横坐标分别是 ， ，容易看出，当时上述函数的图像在轴上方， ；当时，上述函数的图像在轴下方，即 ，于是可得不等式解集为。 [说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。 例1．利用二次函数图像解下列不等式。 （1） （2） [说明]点评中强调一元二次方程，一元二次不等式和二次函数之间的联系。由学生归纳如何利用二次函数的图像解二次项系数为正的一元二次不等式的主要步骤：求出相应的一元二次方程的解；画出相应的二次函数的图像；写出不等式的解集。第2小题函数的图像与x轴相切，教师可提示学生思考如果图像与x轴相离时的不等式的解的情况。 一元二次不等式或 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 二次函数 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 解集 R 的解集 1．用区间来表示不等式的解集 设都为实数，并且,我们规定: (1)集合叫做闭区间,表示为； (2)集合叫做开区间,表示为； (3)集合或叫做半开半闭区间,分别表示为或。 (4)把实数集R表示为（-，+）； 集合表示为[，+； 集合表示为(,+)； 集合表示为（-，b]； 集合表示为（-，b）； 在上述所有的区间中叫做区间的端点，以后我们可以用区间表示不等式的解集。 2．区间在数轴上的表示 [，] （，） [，） （，] [，+） （，+） （-，] （-，） 【例题讲解】 1.解下列不等式： （1） (2) (3) (4) 2.解不等式组