二重积分的计算和应用.doc

6.3.2 二重积分的计算及应用 课题： 二重积分的计算掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。会用二重积分解决简单的应用题（体积、曲面面积）。重点：二重积分的计算方法（直角坐标二重积分解决简单的应用题教学方法教学教学可以用不等式 来表示（图1(a)）在区间[，]上连续．则 图1() 图1() 类似地，若积分域由不等式表示(图1())，则 二、二重积分在极坐标系中的累次积分法 设积分区域可以用不等式 来表示,函数在区间上连续．(2) 首先在区间上任意取定一个值．对应于这个值, 区域上的点的极径从变到．又是在上任意取定的,所以的变化范围是区间．则极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为 上式也可写成 如果积分区域是图3所示的曲边扇形,那末可以把它看作图中当时的特例．这时区域可以用不等式 来表示,而公式化为 如果积分区域如图4所示,极点在区域的内部,那末可以把它看作图中当时的特例．这时区域可以用不等式 来表示,而公式化为 三、二重积分的应用 利用二重积分求曲顶柱体的体积与平面图形的面积 例1 求由球面与柱面所围成的公共部分的立体体积． 解　由于所求体积在平面上方的这一部分也关于平面对称，因此我们可以计算它在第一卦限的部分，然后再乘于4．这一部分是上面覆盖着球面 ， 并以半圆作底的曲顶柱体．所以 化成极坐标 例２　求由直线θ＝０、圆ρ＝３和ρ＝４以及曲线ρ＝5sin2θ在第一象限内所围成的面积． 解　应用极坐标，有 小结本讲内容：强调１．二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。二重积分解决简单的应用题。 图3 图2 图4