关于总体均值统计推断.doc

第五章 关于总体均值的统计推断 习题5.1 1. 什么是参数，统计量，估计量？ 答：所谓总体参数，通常是指描述总体分布的一些特征，例如总体的均值（数学期望）、方差或标 准差等等．一般，如果由总体抽得一个容量为的样本，则一个不包含任何未知参数的样本函数就称为一个统计量．一般地说，如果是一个未知的总体参数，当要对进行估计时，总是去寻找一个合适的统计量，在取得样本观察值后，就计算出统计量的值作为对未知参数的一个估计值．这样对未知参数给出一个具体数值的估计方法称为参数的点估计．用于估计未知参数的统计量称为的一个估计量，或者简称为的一个估计． 如何理解统计量是随机变量？ 答：在没有得到具体样本观察值时，虽然可以给出一个统计量的表达式，但是我们无法确定它的具体取 值，因而它是一个随机变量，它的取值将随着所得到的样本观察值的不同而改变；然而，一旦获得了具体的样本观察值，那么我们就可以按照所给表达式确定地计算出一个统计量的值． 对某城市内两个地点的距离作了4次测量，结果如下（单位：m）： 2781，2836，2763，2858 已知测量方法和仪器都无系统误差，求此距离的估计值． 解：用样本均值作为总体均值的估计．计算得 所以总体均值被估计为（m）． 习题 5.2 1．在总体中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率． 解：这是一个正态总体的样本，其容量．由（5.2）式， 所以有 ． 2．某车间生产滚珠，假定滚珠直径服从正态分布，方差是0.05．从某天的产品里随机抽取6个，量得直径为（单位：mm）：14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1．试求出该天平均直径的95%的置信区间． 解：因为总体服从正态分布，且方差已知，所以用公式．　因为置信水平为，所以．由已知有．由题可求得．将代入公式得置信度为95%的置信区间是．　 3．用一仪器间接测量温度，重复测量了５次，结果如下（单位：）：1250,1265,1245,1260,1275．假定测得温度值服从正态分布，并且所用仪器没有系统误差，试求温度真值的置信度为95%的区间估计． 解：因为总体服从正态分布，且方差未知，所以用公式 ．因为置信水平为，所以．由题中数据可求得．将代入公式得置信度为95%的置信区间是． 4．从某县小学五年级数学测试中随机抽取152份作文试卷，计算得到平均分，标准差．试求该县此次测验总平均分的置信度为99%的区间估计． 解：因为样本容量比较大，所以用正态分布来求近似的区间估计．由于总体方差未知，所以我们用公式．因为置信水平为，所以．由已知有． 将代入公式得置信度为99%的置信区间是． 习题 5.3 1．某饲养场声称其所培养的蛋鸡所产蛋的平均重量达到每个70克．如果要用假设检验方法对此断言作出判断，以公式化形式给出原假设是什么？ 答：以表示该饲养场培养的蛋鸡所产蛋的平均重量，那么前述的原假设可以表示为：． 2．用统计方法检验假设：某品种苹果的平均重量每个为200克．如果统计检验得到的决断是在显著水平时拒绝原假设，试问这意味着什么？ 答：假设检验作出的统计判断是拒绝原假设，即认为原假设不成立，但可能原假设恰恰成立．发生这种错误的概率是我们指定的显著水平．也就是说我们作出拒绝原假设的判断时有10%的风险． 习题 5.4 1．某地区7岁男童的平均体重为，标准差为，从该地区一个小学中随机抽取70位7岁男童称体重，计算得到他们的平均体重为．一般认为体重服从正态分布，试在的显著水平上，检验该校7岁男童的平均体重与全地区平均值相等的假设． 解：根据题意，如果以表示该校7岁男童的平均体重，则现在要检验的假设是 ：， ：．由于总体方差已知，所以我们用统计量．因为置信水平为，所以．所以假设检验的拒绝域为．　　　　　　　　 将代入统计量中得.因为计算出来的值落在拒绝域中，所以我们在的显著水平上拒绝原假设，即认为该校7岁男童的平均体重与全地区平均值不相等． 2．某一年高考中，某市物理考试的平均成绩为75．从该市郊区考生中，随机抽取了25名考生，得到他们的物理考试成绩如下： 68,65,76,75,89,81,85,61,73,48,64,94,67,70,76,87,75,50,62,66,73,83,64,69,79． 如果这次物理考试成绩服从正态分布，试问该市郊区考生的物理平均成绩是否与全市平均相同（显著水平）？ 解： 根据题意，如果以表示该市郊区考生的物理平均成绩，则现在要检验假设：， ：. 由于总体方差未知，所以我们用统计量．因为置信水平为，所以．所以假设检验的拒绝域为．将代入统计量中得．因为计算出来的值不在拒绝域中，所以我们接受原假设，即认为该市郊区考生的物理平均成绩与全市平均成绩相同． 3．某工厂制成一种