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5模糊数学方法 模糊子集与隶属函数 模糊线性规划 多目标线性规划 * * 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形. 例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为 也可用Zadeh表示法： 还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法. 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，必须借助模糊集的方法来处理. 模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解. 设普通线性规划的标准形式为 t0(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn , ti (x) = ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn i = 1, 2, …, m. 若约束条件带有弹性，即右端常数bi可能取 (bi – di , bi + di ) 内的某一个值，这里的di＞0，它是决策人根据实际问题选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线性规划. 把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为 这里的ti (x) =[ bi, di ] 表示当di = 0(普通约束)时, ti (x) = bi；当di＞0(模糊约束)时, ti (x) 取(bi - di, bi + di )内的某一个值. 的区别. 请注意模糊线性规划(2)与普通线性规划 下面将约束条件和目标函数模糊化. 将(2)中带有弹性的约束条件(di＞0)的隶属函数定义为 而将(2)中普通约束条件(di = 0)的隶属函数定义为 Ai (x) = 1, ti (x) = bi . 其图形如右图 由Ai (x)定义可知，??∈[0, 1], Ai (x)≥? ? di ? - di≤ti (x) - bi≤di - di ?, i = 1, 2, … , m. 设普通线性规划(1)和(3)的最优值分别为 f0, f1 , 记 d0 = f 0 - f 1 , 则d0＞0, 它为模糊线性规划(2)中目标函数的伸缩指标，d0也可由决策人确定. 定义模糊线性规划(2)中目标函数的隶属函数为 由Gi (x)定义可知，??∈[0, 1], Gi (x)≥? ? t0 (x) + d0?≤ f0, 要求模糊线性规划(2)的模糊最优解x*，则要求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能达到最大，即求x* 满足 Ai (x)≥?及G(x)≥?， 且使?达到最大值,相当于求解普通线性规划问题 i = 1, 2, …, m. 设普通线性规划(4)的最优解为x*, ? , 则模糊线性规划(2)的模糊最优解为x*, 最优值为t0 (x*). 所以，求解模糊线性规划(2)相当于求解普通线性规划(1), (3), (4). 此外，再补充两点说明： ① 若要使某个模糊约束条件尽可能满足，只需将其伸缩指标降低直至为0； ② 若模糊线性规划(2)中的目标函数为求最大值，或模糊约束条件为近似大(小)于等于，其相应的隶属函数可类似地写出. 例1 解模糊线性规划问题(P129)： 在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划. 一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解. *