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学习矢量分析的总结 篇一：矢量分析总结 第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 1.1 矢函数 与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念 定义1.1.1 设有数性变量t和变矢A，如果对于t在某个范围D内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量t的矢量函数，记作 A=A (t) （1.1.1） 并称D为矢函数A的定义域。 在Oxyz直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A(t)??Ax(t),Ay(t),Az(t)? （1.1.2） 其中Ax(t),Ay(t),Az(t)都是变量t的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。 本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A(t)的起点取在坐标原点。这样当t变化时，A(t)的终点M就描绘出一条曲线l（图1.1），这样的曲线称为矢函数A(t)的矢端曲线，也称为矢函数A(t)的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O也称为矢端曲线的极。 由于终点为M(x,y,z)的矢量OM对于原点O的矢 径为 r??xi?yj?zk 当把A(t)的起点取在坐标原点时，A(t)实际上就成为其终点M(x,y,z)的矢径，因此A(t)的三个坐标Ax(t),Ay(t),Az(t)就对应地等于其终点M的三个坐标x,y,z，即 x?Ax(t),y?Ay(t),z?Az(t) （1.1.3） 此式就是曲线l的参数方程。 只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。 2 、矢函数的极限和连续性 定义1.1.2 设矢函数A(t)在点to的某个领域内有定 义（但在to处可以无定义），A0为一常矢。若对于任意给定的正数?，都存在一个正数?，使当t满 足0?t?t0??时，就有 |A(t)－A0| ? 成立，则称A0为A(t)当t?t0时的极限，记作 lt?itm A(t)=A （1.1.4） 矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。如 limu(t)A(t)=limu(t)·limA(t) t?t0 t?t0 t?t0 （1.1.5） tlim?t[A(t)?B(t)]=limA(t)?B(t) 0 t?t0 tlim?t0 （1.1.6） tlim?t[A(t)·B(t)]=limA(t)·limB(t) 0 t?t0 t?t0 1 （1.1.7） 为 lim[A(t)×B(t)]=limA(t)×limB(t)A (t ) ? t?t0 t?t0 t?t0 （1.1.8） 其中u(t)为数性函数，A(t)，B(t)为矢函数；且 t?t0时，u(t)，A(t)，B(t)的极限均存在。 若设 A(t)= Ax(t)i+ Ay(t)j+Az(t)k 则由法则（1.1.6）与（1.1.5）有 limt?tA(t)=limt?tAx(t)i+limAy(t)j+limA0t?t0t?t0 z(t)k 0（1.1.9） 即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。 定义1.1.3 若矢函数A(t)在to的某个邻域内有定 义，且有 limt?tA(t)=A(t0) 0 （1.1.10） 则称A(t)在t?t0处连续。 即矢函数A(t)在to处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数Ax(t),Ay(t),Az(t)都在to处连续。 若矢函数A(t)在某个区间内的每一点处都连续，则称函数A(t)在该区间内连续。或称A(t)是该区间内的连续函数。 1.2 矢函数的导数与微分 矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系中，一个矢量与三个数量（坐标）构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。 1、矢函数的导数 设有起点在原点O的矢函数A(t)，当数性变量t在其定义域内从t变到t?(?t?0)时，对应的矢量分别 A(t??t)? 如图1.2.1，则 A(t??t)?-A(t)= 称为