不定积分概念和性质.docVIP

定义1??设??为某区间?I?上的函数，如果存在函数? ，使在该区间上有 或 ，则称 为 在区间?I?上的一个原函数。 如： ，则 是 的一个原函数； ???? ，则 是 的一个原函数； 例1 设 的一个原函数是 ，则 _________. 原函数存在定理 如果 在区间?I?上连续，则在区间?I?上 的原函数一定存在。 说明：如果 是 在区间?I?的一个原函数，显然 （ 为任意常数）也是 的原函数，这说明 如果存在原函数，应有无穷多个， 的全体原函数是一个函数族。 为 全体原函数的一般表达式。 定义2??设 是 在区间?I?的一个原函数，则 的全体原函数 称为 在区间?I?的不定积分，记 其中?叫积分号， 叫被积函数， 叫被积表达式， 叫积分变量， ?为任意常数叫积分常数。 例2 ∵? 例3 ????∵ 时， 性质1? ?或 ?????? 或 性质2 （ 是常数，） 性质3 例4??? 解 原式= ?????? 例5 ?? 例6?? 解 原式= ?????? 例7 ?? 解 原式= 例8?? 解 原式= ?????? 例9?? 解 原式= ?????? 例10 有一通过原点的曲线 ，其上任一点 处的切线斜率为 ， 为常数，且知其拐点的横坐标为?-1/3，求曲线方程。 解 由题意： ???故： 因曲线通过原点，得：c=0，又： ，而拐点的横坐标为?-1/3，故： 从而 所以所求曲线方程为： 例11 已知 求 . 解法一 解法二 令 ，则： 。于是 DDY整理 4