综合法、分析法、反证法.ppt

直接证明 间接证明 唐·吉诃德悖论 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说—— 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。 * * * * 推 理 合情推理 演绎推理 归纳 (特殊到一般） 类比 （特殊到特殊） 三段论 （一般到特殊） 一、复习： 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理. 2.2.1 综合法 例1.已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 因为b2+c2 ≥2bc,a0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明: 从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做综合法(顺推证法) 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: … 特点:“由因导果” 二、综合法定义： 例2在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ＡＢＣ为等边三角形． 符号语言 图形语言 文字语言 点评：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。 例3.在锐角三角形ＡＢＣ中， 求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC 课堂练习： 回顾基本不等式： (a0,b0)的证明. 证法2要证 只需证 只需证 只需证 因为 成立 所以 成立 综合法 分析法 证法1 因为 所以 成立 2 ) ( 2 2 2 b a ab b a ab b a - = - + = - + Q 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法（也叫逆推证法或执果索因法）． 特点：执果索因. 用框图表示分析法的思考过程、特点. 得到一个明显成立的结论 … 例2:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC F E S C B A 证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立 思考：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点。回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识。 综合法的特点:由因导果 分析法的特点：执果索因. 之反证法 思考？ A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假; 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎. 反证法： 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的思维方法： 正难则反 反证法的基本步骤： （1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ （1）与原命题的条件矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面成立矛盾。 （1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题； （4）否定性或肯定性命题。 2、你认为反证法的使用情形有那些？ 小试牛刀： 1利用均式 例3 求证： 是无理数。 假设不成立，故 是无理数。 练一练： 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 思考： 趣味数学