1、数值计算方法与误差分析.ppt

计算方法 主讲教师： 侯进军 E-mail: jjhou@hnust.cn * 教材 (Text Book) 数值计算方法 韩树里 编著 （复旦大学出版社） 参考书目 (Reference) ? Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版） Richard L. Burden J. Douglas Faires （高等教育出版社） ? 现代数值分析 李庆扬、易大义、王能超 编著 （高等教育出版社） 计算方法的主要内容 CH1、数值计算方法与误差分析 CH2、非线性方程的数值解法 CH3、线性代数方程组的数值解法 CH4、插值与数值拟合 CH5、数值积分与数值微分 CH6、常微分方程初值问题的数值解法 CH1 数值计算方法与误差分析 1.1 数值计算方法的含义及特点 1.2 误差来源 1.4 数值运算的误差分析 1.3 近似数的误差表示法（绝对误差，相 对误差，有效数字） 1.5 减少运算误差的若干原则 1.1 计算方法的含义和特点 计算 方法 程序 设计 上机 计算 近似解 数学 模型 实际 问题 1、计算方法所处地位 2、计算方法的特点 1）面向计算机 2）有可靠的理论分析 3）有好的计算复杂性： 空间复杂性（节省存储空间） 时间复杂性（节省计算时间） 1.2 误差的来源 精确数--真值、近似数，误差 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 1.3 近似数的误差表示法 一、 绝对误差 /* absolute error */ 其中x为精确值，x*为x的近似值。 ，例如： 工程上常记为 注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正， 也可能取负。 e* 0 不唯一，当然 e* 越小 越具有参考价值。 ，称为绝对误差限（简称为误差或精度） 的上限记为 例 用一把毫米刻度的尺子测得桌子的长度 由尺子的精度可以知道， 这个近似值的误差不会超过 的 近似值是 二、 相对误差 /* relative error */ x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 ，而后才考察其上限。那么这样的偷换是否合法？ 严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？ 回答是肯定的。因为 是 的一个高阶（无穷小）量 x 的相对误差定义为： 三、有效数字 /* significant digits */ 例 问： 有几位有效数字？ 注：0.2300有4位有效数字，而0. 23只有2位有效。12300如果写成0.123?105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！ 用规则计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。 ( 4 位 ) 四、有效数字与相对误差的关系 ? 有效数字 ? 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字， ? 所以有效数字越多，相对误差越小 则其相对误差限为 ? 相对误差限 ? 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 则 可见 x* 至少有 n 位有效数字。 ? 所以相对误差越小，有效数字越多 ? 例 求 的近似值，使其相对误差不超过0.1%。 解 设取n 位有效数字，令 取 n=4， 1.4 误差的传播 问题：对于 y = f (x)，若用 x* 近似取代 x。求y 的误差 分析：e (y) = f (x*) ? f (x) e (x) = x* ? x = f ’(? )(x* ? x) x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’(? ) ? f ’(x*) ，则有： 即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)|倍。 上一页 下一页 返回