数值分析第五章常微分方程数值解法.ppt

一般地，利用插值原理所建立的一系列数值积分方法也可以导出解微分方程的一系列计算公式。运用插值方法的关键在于选取合适的插值节点。假设已构造出f(x,y(x))的插值多项式Pr(x),则 §4 Multistep Method ? 亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */ 利用r+1 个节点上的被积函数值 构造 r 阶牛顿后插多项式, 有 Newton 插值余项 /*Adams 显式公式 */ 外推技术 /* extrapolation */ table 5-6, p.181 j ?j 0 1 1 1/2 2 5/12 3 3/8 实际计算时，将差分展开 i j r j=i 局部截断误差为： 注：Br 与yn+1 计算公式中 fn , …, fn?k 各项的系数 均可查表得到 。 见下表。 1 0 1 2 3 r fn fn?1 fn?2 fn?3 … Br … … … … … … … 例： 常用的是 r = 3 的4阶亚当姆斯显式公式 Adams显式公式用 作为插值节点，在求积区间[xn, xn+1]上用插值函数Nr(x)近似f(x,y(x))，而xn+1不在插值节点内，因此是一个外推的过程。虽然公式是显式的，便于计算，但效果并不理想，比如稳定性较差等。 因此改用通过r+1个节点 的插值多项式Nr(x)近似f(x,y(x))，由于xn+1是其中一个插值点，因此是内插多项式，但导出的公式是隐式的。 §4 Multistep Method ? 亚当姆斯隐式公式 /* Adams implicit formulae */ 利用r+1 个节点上的被积函数值 fn+1 , fn , …, fn?r+1 构造r 阶牛顿前插多项式。与显式多项式完全类似地可得到一系列隐式公式。 j 0 1 1 -1/2 2 -1/12 3 -1/24 局部截断误差为： 1 0 1 2 3 k fi+1 fi fi?1 fi?2 … Br … … … … … … … ~ 小于Br 注： 与yn+1 计算公式中 fn+1 , …, fn+1?k 各项的系数 均可查表得到 。 见下表。 常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯隐式公式 较同阶显式稳定 例： §4 Multistep Method ? 亚当姆斯预测-校正系统 /* Adams predictor-corrector system */ Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值； Step 2: 用Adams 显式计算预测值； Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值。 注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutta 法配合4阶Adams 公式。 4阶Adams隐式公式的截断误差为 4阶Adams显式公式的截断误差为 Predicted value pn+1 Corrected value cn+1 Modified value mn+1 预测值与校正值的事后误差估计 Adams显隐预测-校正-改进系统 §4 Multistep Method Adams 4th-Order predictor-corrector Algorithm To approximate the the solution of the initial-value problem At (N+1) equally spaced numbers in the interval [a, b]. Input: endpoints a, b; integer N; initial value y0 . Output: approximation y at the (N+1) values of x. Step 1 Set h = (b ? a) / N ; x0 = a; y0 = y0; Output ( x0, y0 ); Step 2 For i = 1, 2, 3 Compute yi using classical Runge-Kutta method; Output ( xi , yi ); Step 3 For i = 4, …, N do steps 4-10 Step 5 ; /* predict */ Ste